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钢管下料问题
1 问题的提出
某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。现有一客户需要15根290 mm、28根315 mm、21根350 mm和30根455 mm的钢管。为了简化生产过程,规定所使用的切割模式的种类不能超过4种,使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用,使用频率次之的一种切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用,依次类推,且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)。此外,为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm。为了使总费用最小,问我们应如何下料?
2 问题的假设
(1) 假设4种切割模式使用频率为。
(2) 假设题目中每种切割模式下使用原料的总根数余料浪费不能超过100 mm。
3 问题的分析
题目中要我们求最小费用。目标函数中可以设原料钢管总费用为1。然后就可以列出。其次要确定满足要求的钢管切割模式。而题目中提到使用频率最高的一种切割模式,我们可以假设,给满足要求的切割模式排序。观察题目知,约束条件很多,要考虑全面。在这,余料约束理解为每一种切割模式下使用的钢管总根数的余料浪费不能超过100 mm。为了缩小可行解的搜索范围,可以考虑上下界的约束。最后建立模型求解即可。
4 模型的建立与求解
模型的建立
由于所使用的切割模式的种类不能超过4种,可以用表示按照第种模式切割的原料钢管的根数,显然它们应当是非负整数。设所使用的第种切割模式下每根原料钢管生产290 mm、315 mm、350 mm和455 mm的钢管数量分别为(非负整数)。设一根原料钢管价值为。
决策目标切割原料钢管总费用最少,目标为
约束条件
1) 客户的需求约束
为满足客户的需求,应有
2) 钢管成品量约束
每一种切割模式必须可行、合理,所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm,也不能少于1560mm(余
料不能大于290mm),于是
3) 不同切割模式切割次数约束
每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品),即
4) 余料约束
为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm,即
5) 原料钢管总根数上下界约束
所需原料钢管的总根数有上界和下界。
首先,原料钢管的总根数不可能少于
根
这就得到了最优解的一个下界。
其次考虑一种非常特殊的生产计划,即
第一种切割模式下只生产290mm钢管,一根原料钢管切割成6根290mm钢管,为满足15根290mm钢管的需求,需要3根原料钢管。
第二种切割模式下只生产315mm钢管,一根原料钢管切割成5根290mm钢管,为满足28根315mm钢管的需求,需要6根原料钢管。
第三种切割模式下只生产350mm钢管,一根原料钢管切割成5根350mm钢管,为满足21根350mm钢管的需求,需要5根原料钢管。
第四种切割模式下只生产455mm钢管,一根原料钢管切割成4根455mm钢管,为满足30根455mm钢管的需求,需要8根原料钢管。
于是满足要求的这种生产计划,共需
根
这就得到了最优解的一个上界。
所以有以下约束
6) 不同切割模式使用频率约束
切割模式使用频率约束。根据假设(1