巴斯卡定理证明阐释.ppt

巴斯卡定理证明阐释
主讲人:陈中林
技术支持:郑勇
老河口电大
2014-8-20
【定理条件】
(1)两点列没有特定要求,但存在一个公共交点,该交点可能是有穷远点,也可能是无穷远点,本课程采用有穷远点为公共交点。
(2)两点列各取相异3点,共6个点,配成3对点组。
(3)交点选取:3组对应点组为AA',BB',CC';每两组之间不共线错位点的连线的交点即为符合条件的点,有3个,设为N,M,L。
【定理内容】
O
A'
B'
C'
A
B
C
N
M
L
(文字)设A,B,C是直线 l 上互异的三点,A ',B',C'是直线l'上互异的三点,那么三个交点:L=BC'xB'C,N=AB'xA'B,M=CA 'xC'A共线。
(图形)
【定理结论】
三交点共线
【证明途径】
要证三点共线,先转换成三线共点;为了证明三线共点需要寻找决定共点三线的特定点列,即透视点列;再利用点列透视的性质得到所要证明的结论。
【理论依据】
两点列透视则对应点的连线共点(中心)。
【证明过程展示】
图示
O
A'
B'
C'
A
B
C
N
M
L
K
J
H
I
方法一:
分别以A,C为中心作透视变换(2次透视)。
记J=C'AxA'B,K=BC'xCA',O=ABxA'B';
选取两点列(A'NJB)与(KLC'B)加以考察,
以A为中心将点列(A'NJB)透视到点列(A'B'C'O);再以C为中心将点列(A'B'C'O)透视到点列(KLC'B),即
(A'NJB)(A'B'C'O)(KLC'B)
根据透视对应与射影对应的关系(透视对应的性质),可知
(A 'NJB)(KLC'B)
这两个点列底存在以点B为自对应点,因此这两个点列透视。
根据两个点列透视的性质得到A'K,NL,JC'三线交于一点,即N,M,L共线。

证毕
方法二,
分别以A',C'为中心作透视变换(2次透视)。
同方法一一样,通过推导,可知以B'为自对应点的点列(ANHB')与点列(ILCB')透视,由两个点列透视的性质得到三点N,M,L共线。