第2章 命题逻辑4.ppt

推理理论
推理是"前提结论"的思维过程。在命题逻辑中, 前提是已知的命题公式, 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。在传统数学中定理的证明均是由前提(已知条件,全是真命题)推出结论(亦全是真命题), 这样的结论称为合法结论。
数理逻辑有所不同, 它着重研究的是推理的过程, 这种过程称为演绎或形式证明。在过程中使用的推理规则必须是公认的且要明确列出, 而对于作为前提和结论的命题并不一定要求它们全是真命题, 这样的结论称为有效结论。
称蕴涵式(A1∧A2∧…∧An)→B为推理的形式结构, A1, A2, …, An为推理的前提, B为推理的结论。
若(A1∧A2∧…∧An)→B是重言式, 则称从前提A1, A2, …, An推出结论B的推理正确, B是A1, A2, …, An的有效结论或逻辑结论。记作:
(A1∧A2∧…∧An)B (A1, A2, …, AnB)
否则称推理不正确, 或B不是前提A1, A2, …,An的有效结论。
【】验证下面推理是否正确:
一个数是复数, 仅当它是实数或是虚数, 一个数既不是实数也不是虚数, 因此它不是复数。
证明设p: 它是复数, q:它是实数,r它是虚数。
推理的形式结构为:
(1) 真值表法()。
所以推理正确。
表
(2) 等值演算法:
(蕴涵等值式)
(德·摩根律)
(分配律、排中律)
(同一律)
(蕴涵等值式)
(德·摩根律)
(交换律、排中律)
(零律)
(3) 主析取范式法(略)。
以上的证明方法, 当形式结构比较复杂, 特别是所含命题变元较多时, 一般是很不方便的。下面介绍构造证明法, 这种方法必须在给定的规则下进行, 其中有些规则建立在推理定律(重言蕴涵式)的基础之上。
推理定律:
(1) A(A∨B) 附加
(2) (A∧B)A 化简
(3) ((A→B)∧A)B 假言推理
(4) ((A→B)∧ B) A 拒取式
(5) ((A∨B)∧ B) A 析取三段论
(6) ((A→B)∧(B→C))(A→C) 假言三段论
(7) ((AB)∧(BC))(AC) 等价三段论
(8) ((A→B)∧(C→D)∧(A∨C))(B∨D)
构造性二难
推理规则:
前提引入规则: 在证明的任何步骤上, 都可以引入前提。
结论引入规则: 在证明的任何步骤上, 所得到的结论均可作后续证明的前提加以引用。
置换规则: 在证明的任何步骤上, 命题公式中的任何子公式都可以用与之等值的公式置换。
构造证明法:
构造证明可以看作公式的序列, 其中的每个公式都是按照事先规定的规则得到的, 且需将所用的规则在公式后写明, 该序列的最后一个公式正是所要证明的结论。