高中数学排列组合 组合(2).ppt

组合(2)
——解排列组合问题的几种基本方法
7/5/2018
1
④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.)
处理问题的原则:
1. 分组(堆)问题
7/5/2018
2
,要发包给三个工程队,要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式?
解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤:
⑴先将四项工程分为三“堆”,有
种分法;
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队,
有3!=6种给法.
∴共有6×6=36种不同的发包方式.
1. 分组(堆)问题
7/5/2018
3
例2 . 、乙两人不相邻,有多少种不同的排法?
♀♀♀♀♀
解:分两步进行:
♀♀
几个元素不能相邻时,先排一般元素,再让特殊元素插孔.
第1步,把除甲乙外的一般人排列:
第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔):
↑↑↑↑↑↑
解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以解决.
:
7/5/2018
4
相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素,然后再进行整体排列.

例3 . 、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
♀♀♀♀♀♀
解:(1)分两步进行:
甲乙
第一步,把甲乙排列(捆绑):
第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:
♀♀
几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素,再与其它的进行排列.
7/5/2018
5
例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法?
几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,,先让其它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
(留空法)
解法1:将5个人依次站成一排,有
解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好,有
种站法,
然后再消去甲乙之间的顺序数
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
7/5/2018
6
变式:如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?
解: 如图所示
→
1
↑
①
→
2
↑
②
↑
③
→
3
→
4
→
5
↑
④
→
6
→
7
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
条不同的路径.
(留空法)
也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列,有
种排法.
7/5/2018
7
n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
(隔板法):
解: 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将16个小球串成一串,截为4段有
种截断法,对应放到4个盒子里.
因此,不同的分配方案共有455种.
7/5/2018
8
n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
:
解: 问题等价于先给2班1个,3班2个,4班3个,再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串,截为4段有
种截断法,对应放到4个盒子里.
因此,不同的分配方案共有84种.
7/5/2018
9

从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任