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跳出题海,我有36计
第27计方程开门欲擒故纵
【计名释义】
数学,顾名思义,,——函数、方程和不等式都是关于数的内容.
,函数研究的是“从数到象”,而方程相反,研究的是“从象到数(原象)”.
方程解题步骤:(1)设x. 对数(原象x)先作假设;(2)放x. 把这个“假”x放到函数(笼子)中去.(3)关x. 按函数解析式的运算,列出一个等式——方程(笼子关闭).(4)擒x,解这个方程,把x抓出来.
【典例示范】
【例1】求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.
【点评】构造方程组,利用对偶方程组解决问题,是充分借助方程思想解题的方法之一.
【例2】求二项式展开式中的常数项.
【分析】这是数学运算中的“求值”问题,解决问题的工具是函数和方程式,为了设方程,先得找函数.
【解答】由二项展开式的通项公式Tr+1=C
由此得Tr+1=Cr=…=(-1)rCx
欲Tr+1为常数,只须=0.
解方程,得r=4.
故所求的常数项为T5=(-1)4C=210.
【点评】欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程;“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”
【强化训练】
,则( )
A. 90 B. 100 C. 110 D. 120
【答案】A
【解析】分析:
是等比数列,因此把两已知等式相除可化简.
详解:
设公差为,,∴,
,,,
∴,
故选A.
点睛:
等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化,如是等差数列,则是等比数列,如是等比数列且均为正,则是等差数列.
,,分别为的左、右焦点,且,与轴交于点,为坐标原点,若四边形有内切圆,则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:求出圆的圆心、半径和直线PF1的方程,根据切线的性质列方程求出a,b,c的关系,得出离心率.
详解:F1(﹣c,0),F2(c,0),P(c,),
直线PF1的方程为y=x+,即b2x﹣2acy+b2c=0,
四边形OF2PQ的内切圆的圆心为M(,),半径为,
∴M到直线PF1的距离d==,
化简得:9b2﹣12abc﹣b4=0,
令b=1可得ac=,又c2﹣a2=1,
∴a=,c=.
∴e==2.
故选C.
点睛:求离心率的取值,一般是找到关于离心率的方程,,本题是根据直线和圆相切得到圆心到直线的距离等于半径找到的方程.
,由点向圆引切线,切点分别为,,且,若满足以上条件的点有且只有一个,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:先分析得到四边形PMON是正方形,再分析出,再根据点到直线的距离求出b的值.
详解:由题得,
∴四边形PMON是正方形,
∴|PO|=,
∵满足以上条件的点有且只有一个,
∴,
∴.
故选B.
点睛:本题的关键是对已知条件的分析转化,首先要分析出四边形PMON是正方形,再分析出,再根据点到直线的距离求出b的值.