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线性代数习题课
第三章矩阵的初等变 换与线性方程组
(第行的倍加到第行上,记作).
一、内容提要
(一)初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(i)对调两行(对调两行,记作);
(ii)以数乘某一行中的所有元素(第行乘,记作)
(iii)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去;
(记号:“”换为“”)
矩阵与列等价;记作;
若矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵,则称
阵与等价;记作;
矩阵与行等价;记作;
若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵,则称矩
定义2 若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵,则称
注(1)将定义中“行”改为“列”,称为矩阵的初等列变换;
(2)初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
(二)初等矩阵

, , .
行列式: , , .
逆矩阵: , ,
.
作用:“左乘变行,右乘变列.”
初等矩阵.
(三)矩阵的秩
,且所有
阶子式(如果存在的话)全为,则称为的最高
,记为.
规定:零矩阵的秩为.
(1) .
(2) .
(3)若,则.
(4)若可逆,则.
(1)定义法;
(四)线性方程组的解
1. 有非零解;
2. 有解, ;即
(1)当时, 有唯一解;
(2)当时, 有无穷多解;
(3)当时, 无解.
: 初等行变换法.
(2)利用初等行变换化为与之等价的行阶梯形
矩阵. 非零行的行数就是的秩.
存在可逆阵、,使.
(五)一些重要结论
1. 可逆( 为初等矩阵, ) .
.
二、典型例题举例
(一)填空题
【例1】给矩阵左乘一个初等方阵,相当于对施行
一次相应的;给矩阵右乘一个初等方阵,相当于
对施行一次相应的.
分析本题是考查初等方阵的性质.
解初等行变换;初等列变换.
【例2】, , .
分析本题是考查初等方阵的定义及性质.
解; ; .
【例3】设矩阵, ,则逆矩阵.
分析本题可利用初等行变换法求逆矩阵.
解.