两字之差 结果迥然.doc

两字之差结果迥然
学生错题:如图1:要在燃气管道l上修建一个泵站,向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
             
绝大多数学生给出了如下的作图及证明方法:
     
如图2,作B关于直线l的对称点B′,连结AB′与直线l交于点C,点C就是所求的位置.
证明:如图3,在直线l上另取任一点C′,连结A C′,B C′, B′C′,
因为直线l是点B,B′的对称轴,点C,C′在l上,
∴CB=CB′, C′B= C′B′,∴AC+CB=AC+C B′=A B′.
在△A C′B′中,∵A B′<A C′+ C′B′,∴AC+CB<A C′+ C′B′即AC+CB最小.
错误原因:1、审题不仔细,没有理解题的真正意思。对相似的问题,区分不准确。
题1:如图1:要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?(学生的错解)
题2:如图1,A ,B到l的距离分别是m km和n km (m<n),AB=a km, 要在燃气管道l上修建一个泵站,向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
2、受定式思维的影响;对类似的题,在教材上首次出现时,应用轴对称来解决的,所以,再次遇到类似的题时,自然就想到当初的第一印象。
真确解答:分析:根据题意,我们可设计出两种管道铺设方案.
方案一:其中AC⊥l 于点C,设方案中管道长度为d  ,则d =(AB+AC )km     

方案二(见课本例题的作图方法):
设该方案中管道长度为d, 则d=AC+BC=AC+ CB′= A B′  

计算:⑴方案一中,d = AB+AC=(a+m)km
⑵方案二中,我们作如图所示的辅助线,在△ABK中,AK2= a-(n-m)
∴在△AK B′中,d= A B′=
==

比较:∵d ,d均为正数,为了比较d ,d的大小,我们可以比较其平方的大小:
d =(a+m), d=()=a+4mn
d - d=(a+m)