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极限的四则运算法则 .极限的性质与四则运算法则.doc极限的四则运算法则

第四节极限的性质与四则运算法则
教学目的:使学生掌握极限的四则运算法则,并会利用它们求极限; 教学重点:有理函数极限的计算; 教学过程:
一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课:
一、函数极限的性质定理1:(保号性)设limf(x)=A,
x®x0
(i) 若A>0(A<0),则$d>0,当xÎU(x0,d)时,f(x)>0(f(x)<0)。(ii) 若f(x)³0(f(x)£0),必有A³0(A£0)。
ÙA证明:(i)先证A>0的情形。取e=,由定义,对此e,$d>0,当xÎU(x0,d)时,
2
AAAA3A
f(x)-A<e=,即0<=A-<f(x)<A+=Þf(x)>0。
22222
A
当A<0时,取e=-,同理得证。
2
Ù
(ii)(反证法)若A<0,由(i)Þf(x)<0 矛盾,所以A³0。当f(x)<0时,类似可证。
注:(i)中的“>”,“<”不能改为“³”,“£”。在(ii)中,若f(x)>0,未必有A>0。
二、极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。定理1:若limf(x)=A,limg(x)=B,则lim[f(x)±g(x)]存在,且
lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x)。
证明: 只证lim[f(x)+g(x)]=A+B,过程为x®x0,对"e>0,$d1>0,当
有f(x)-A<0<x-x0<d1 时,时,有g(x)-B<
e
2
,对此e,$d2>0,当0<x-x0<d2
e
2
,取d=min{d1,d2},当0<x-x0<d时,有
(f(x)+g(x))-(A+B)=(f(x)-A)+(g(x)-B)£f(x)-A+g(x)-B<
e
2
+
e
2
=e
所以lim(f(x)+g(x))=A+B。
x®x0
其它情况类似可证。
注:本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2:若limf(x)=A,limg(x)=B,则limf(x)×g(x)存在,且
limf(x)g(x)=AB=limf(x)×limg(x)。
证明:因为limf(x)=A,limg(x)=B,Þf(x)=A+a,g(x)=B+b, (a,b均为无穷小)Þf(x)g(x)=(A+a)(B+b)=AB+(Ab+Ba+ab),记
g=Ab+Ba+ab, Þg为无穷小, Þlimf(x)g(x)=AB。推论1:lim[cf(x)]=climf(x)(c为常数)。推论2:lim[f(x)]n=[limf(x)]n(n为正整数)。
定理3:设limf(x)=A,limg(x)=B¹0,则lim
f(x)Alimf(x)
==。 g(x)Blimg(x)
证明:设f(x)=A+a,g(x)=B+b(a,b为无穷小),考虑差:
f(x)AA+aABa-Ab
-=-= g(x)BB+bBB(B+b)
其分子Ba-Ab为无穷小,分母B(B+b)®B2¹0,我们不难证明
1B(B+b)
有界(详细过程见书上)Þ
f(x)A
=。 g(x)B
Ba-Abf(x)A
=+g,为无穷小,记为g,所以
B(B+b