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对工科院校大学数学教育的一点思考
摘要: 本文以矩阵可逆的条件为例,综合线性代数以及概率的基本知识,给出了矩阵可逆在通信系统中的喷泉码上的应用,,在平时的教学中应该努力理论联系实际,这不仅能够提高学生学习数学的兴趣,而且对他们灵活地掌握所学的数学知识也有非常重要的促进作用.
关键词: 线性代数概率论矩阵可逆线性无关

在大学数学教学过程中,经常会有学生这样问:“为什么要学大学数学,学了有什么?”,应该努力做到以学生为中心,针对他们所关心的问题进行有针对性的引导,,教师在探索这些问题答案的过程中,眼界为之宽广,使自己的水平得到提高,,在实际应用中有着非常重要而又有趣的应用,在教学中适当添加这些内容,能让我们的教学更生动,让学生更有兴趣学习.

本节中我们给出矩阵可逆的一些基本定义和定理[1],引出我们后面的内容.
定义1:我们称n阶方阵A是可逆的,如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E成立.
同时,把矩阵可逆和解方程组联系在一起,还能够得到如下定理:
定理1:方程组Ax=b有解的充要条件是方阵A可逆.
而在学习了向量组的线性无关性以及秩的概念后,我们还能够得到关于方阵可逆的等价条件:
定理2:n阶方阵A是可逆的充要条件是,由方阵A的行向量组成的向量组的秩是n,或者说这n个向量是线性无关的.

在现代通信中,为了准确传输信息,,其基本原理是,对要传输的码字,我们可以设为向量a■,a■,…,a■,发送方首先随机的选取系数c■,c■,…,c■,然后利用这些系数不断的发送这些向量的线性组合c■a■+c■a■+c■a■,直到接收方恢复出向量a■,a■,…,a■,我们可以看到接收方接收到的都是a■,a■,…,a■的线性组合,因而可以把解码的过程看做是如何从线性方程组中解出a■,a■,…,a■.
由定理1可知,,向量a■,a■,…,a■中每个元素都是0或1,所以,喷泉码的解码概率就转化为如下的一个数学问题:
设矩阵A中的元素以相等的概率取0或者1,那么矩阵A可逆的概率是多少?
对于这一问题,我们可以这样解答:
首先,矩阵A中的元素不是0就是1,这样总共有2■,当矩阵A可逆时,它的每一行的元素应该这样选取:对于第一行,可以选取除了全0以外的任一种,因此有2■