数学公开课.ppt

(2)
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
知识回顾
几何语言:
∵ OC平分∠AOB,
且PD⊥OA, PE⊥OB
∴ PD= PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的性质:
不必再证全等
O
D
E
P
A
C
B
反过来,到一个角的两边的距离相等
的点是否一定在这个角的平分线上呢?
P
思考
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,
点D、E为垂足,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的平分线上
P
C
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO=PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)
∴∠ POD=∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,
点D、E为垂足,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
P
C
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,
PD=PE.
∴OP平分∠AOB.
用数学语言表示为:
角平分线的判定定理
总结
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
归纳、比较
如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处?(比例尺为1︰20000)
思考
D
C
S
解:作夹角的角 平分线OC,
截取OD= , D即为所求。
O
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.
同理,PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明:过点P作PD⊥AB于D,
PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,
知识运用
如图,△相交于点P。求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等
D
P
M
N
A
B
C
F
E
想一想,点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等.
证明:过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD
于H,FM⊥BC于M,
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上,
FG⊥AE, FM⊥BC,
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上, FH⊥AD, FM⊥BC.
∴FM=FH.
∴FG=FH,
∴点F在∠DAE的平分线上.
如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,
求证:点F在∠DAE的平分线上.
课堂练习
如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
课堂练习