化归思想在数学解题中的应用.doc

寄搞日期:2009年3月6日星期五
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化归思想在数学解题中的应用
唐雯川
四川省成都邛崃市平乐中学 611539
【摘要】根据数学问题求解中重要的化归思想,文章详细阐述了如何在数学解题中灵活运用化归思想。结果表明,只要能够进行巧妙地化归,总能快速地求解相关数学问题。
【关键词】化归数形结合变更问题
引言
在数学问题的求解过程中,有一类问题是无法直接进行求解的。一般,总是想方设法将所要求解的问题进行化归,从而将难解的问题通过变换化归为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换化归为已解决的问题。这便是化归思想。
所谓化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时通过某种变换使之化归,进而达到解决问题的一种方法。其特点在于其高度的灵活性和多样性。它可以在宏观上进行化归,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言翻译为数学语言;也可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换。还可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变换。消去法、换元法、数形结合等方法就是最常见的几种化归方法。
在使用化归思想解决数学问题时,一般遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则。按照这些原则进行数学操作,省时省力,可以快速提高解题的水平和能力。本文着重论述等价化归、数形结合、变更问题、反证化归和换元化归思想在解题中的应用。
1 等价化归
等价化归是把不可解的问题化归到已有知识范围内可解的问题的一种重要方法。在解题时可以通过适当的联想,把题中的条件或结论改换成另一种等价的形式,从而明确解题方向,寻求解题途径。
例1 中,已知:,,求三角形三边之比。
分析:根据倍角公式和射影定理可知,在中,“”等价于“”,从而“”等价于“,”。这样,原题相当于:中,三边成等差数列,最大角与最小角
的差为,求三角形三边之比。由此,通过求解三角方程,确定的大小,原题就容易解出了。
解:依题设有
(1)
由射影定理可知
(2)
比较(1)、(2)式,得
(3)
根据(3)式,由正弦定理可得
(4)
又由三角形的性质可知,为最小角,为最大角,则
, (5)
将(5)式代入(4)式,可得
(6)
即
(7)
因为为最小角,所以,即,则。
故方程(7)等价于
(8)
两边平方,整理后
(9)
解方程(9)取正值,得
(10)
从而
因此,三边之比为


例2图1-1,三棱锥中,已知,的公垂线,求证:三棱锥的体积是
分析:若直接求解,底、高不易求出。由于是与的公垂线,而,
知面,把三棱锥分成以,为高,为底的两个小三棱锥。
图1-1

解:连结
即原题得证。
通过适当替换题设条件,明确了解题方向。这就表明,有目的地总结并熟悉数学中的等价关系,对于丰富解题思想是很有帮助的。
2 数形结合
数与形是数学中的两种表现形式,数是形的深刻描述,而形是数的直观表现。
两者之间相互印证,不可分割。因此,在特定的条件下,数与形可以相互转换,互相渗透。“数”的问题可以化归为“形”的问题进行研究,“形”的问题也可以化归为“数”的问题进行探讨。
例3 已知,,。试比较和的大小。
分析:考虑将“数”的问题向“形”的问题转化。由题设可得如下等价图示2-1.
解:图中、分别表示的长度。因为,不妨设,以,为直角边,做直角三角形,斜边,设、分别是的边上的中线和角平分线,则
由三角形的面积公式有
所以
.
显然时,,所以
图2-1
例4 求函数的最大值。
分析:将函数写为。根据解析式的特征,设计出图形如2-2,在直线的同侧取,两点,使到直线的距离,到直线的距离,且,是延长线上的一点,令,则,由这个图形可得到:,。因为,所以当点移动到与再一条直线上的点处,有最大值。
解:由图知,当点位于点时,∽得
所以
即当时
函数有最大值。
图2-2
此时

3变更问题
有些数学问题的结构比较复杂,常常通过等价替换题设的条件或结论从而得到问题的解答。因此,解题时可以通过适当的联系,把题中的条件或结论改换成一种与它等价的形式,从而方便问题的解决。
变更问题的条件
遇到条件比较复杂的数学问题时,可能会无法直接求解。但如果适当变更题设条件,就能将复杂的问题进行简化。
例5 设为正实数,求
解:变更问题条件…
…

变更问题的结论
同样,有时变更问题的结论,也会使问题的解答达到事半功倍的效果。
例6 设为实数,求证:
分析: 可变形为: (11)
(11)式又可变为
(12)
又因为时,。令,则可得(12)式。即
解:令,由不等式定理可知:,