48 正弦定理、余弦定理.ppt

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高中数学第一册(下)
余弦定理
什么叫做正弦定理,用正弦定理解三角形必须已知哪些量?
复习
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 即:
正弦定理:
用正弦定理解三角形,必须已知三角形的两角和一边或者已知两边和其中一边的对角.
1. 在ABC中,已知a = 1,b = ,A = 30,解此三角形.
练习
B = 60,C = 90,c = 2;
或B = 120, C = 30,c = 1.
等腰三角形(B = C).
2. 在ABC中,2bcosC = a,判断此三角形的形状.
在ABC中,b = 3,c = 4,A = 60,如何求a?
探索
一般地,在一个三角形中,已知两边和这两边的夹角时,用正弦定理解这个三角形方便吗?为什么?
如何求解上述问题?
(1) 考虑转化为直角三角形求解.
(2)考虑利用向量的数量积,找边角关系.
:
余弦定理:
a2 = b2 + c2  osA;
利用余弦定理可以解决怎样的三角形问题?
b2 = c2 + a2  2cacosB;
c2 = a2 + b2  2abcosC.
①已知三角形三边求角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边.
余弦定理的变形:
由a2 = b2 + c2  osA;
b2 = c2 + a2  2cacosB;
c2 = a2 + b2  2abcosC可得:
例1 在ABC中,已知a = 7,b = 10,c = 6,求A、B和C(精确到1).
分析: 已知三边求角, 联想余弦定理求解.
解:
[或∵sinC = ≈ ,
∴ C ≈ 36°或144°(舍)]
例1 在ABC中,已知a = 7,b = 10,c = 6,求A、B和C(精确到1).
思考: (1) 判定例1中ABC的形状.
∴ABC为钝角三角形.
思考: (2) 求例1中ABC的面积.
由此得: B (90,180)  b2 > a2 + c2.
例3 已知三角形的一个角为60,面积为10 cm2,周长为20cm,求此三角形的各边长.
例2 ΔABC的三个顶点坐标分别为A(6,5)、B(– 2,8)、C(4,1),求角A.
分析:此题所给的条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未知数,所以需寻求三个方程.
分别为5cm,7cm,8cm.
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注意:
(1) 在建立方程的过程中,既要注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形式的面积公式的应用.
(2) 由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意体会其求解的方法和思路,以提高自己的解方程及运算能力.