§ 初等矩阵
引言
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.
定义
一、初等矩阵
三种初等变换对应着三种初等方阵:
(换法矩阵)
(倍法矩阵)
以数乘单位矩阵的第期 i 行得初等矩阵
(消法矩阵)
1 初等矩阵皆可逆,且其逆仍为初等矩阵.
初等矩阵的性质
2 引理对任一矩阵作一初等行(列)变换相当于
对左(右)乘一个相应的初等矩阵.
: 对换的两行;
: 对换的两列.
:用非零数乘的第列;
:用非零数乘的第列.
: 的第行乘以加到第行;
: 的第列乘以加到第列.
若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到,则称A与B等价的.(也称A与B相抵)
①矩阵的等价关系具有:
反射性、对称性、传递性.
②等价矩阵的秩相等.
二、等价矩阵
定义
注:
1) 定理5 任一矩阵 A 都与一形式为
矩阵等价的有关结论
的矩阵等价,称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数等于R(A)(1的个数可以是零).
2) 矩阵A、B等价
存在初等矩阵
使
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E.
A与单位矩阵E等价.
即
4) n 级方阵A可逆
A能表成一些初等矩阵的积,
定理6
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