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广义热弹性问题
热信号是以波的形式在介质中传播的,传统的热弹性理论认为传播的波速为无穷大,很明显,这与物理实际不相符合。很多科学家通过研究建立了一些广义热弹性理论,使之更能够解释自然规律,并将之运用到工程实际中来。
传统的热弹性理论基于经典傅里叶定律。
略去内热源的经典热传导方程是抛物型的。
c:比热容
由于这个方程是抛物型的,当物质中存在着一定的温度分布,远离热源的部分会立即受到影响,热播的速度是无穷大。这个理论违背了物理事实,遇到了一些无法解决的问题。
热是以波的形式传播的,我们将它称之为第二声速。在均匀的各向同性材料中,广义的傅里叶定律为:
相应的热传导方程:
这是一个双曲型方程,热播以速度传播的。
热松弛时间。
一般材料的热松弛时间非常小,当研究的问题涉及到非常短的时间间隔或者相当大的热流时,就不应该忽略松弛时间对其的影响。
由Maxwall提出更一般的热传导定律:
Curtin and Pipkin
:热流松弛函数。
Meixner:
:材料常数: 正实值函数
传统的热传导理论基本方程:
运动方程:
动量守恒方程:
质量守恒定律:
能量守恒定律:(热力学第一定律)
:应变张量:应力张量:内热源强度:变形前密度:变形后密度
熵不等式:
:熵
Helmholtz’s free energy


线性近似:
忽略高阶量。和变为柯西应力与应变张量,,,各式变为:
具有如下对称性:
热传导方程
运动方程
运动方程是双曲型,而热传导方程是抛物型的,描述了一个以有限速度的弹性波与无限速度热波的耦合系统。
假如材料是各向同性的:可进一步简化

线性热膨胀系数
含有热松弛时间的热弹性理论:
控制方程:
热传导方程:
是双曲型方程。热波波速是有限的。
此试与运动方程:
组成完整的系统,两个方程都是双曲型的。
各向同性材料有如下形式:
热波波速:
能量方程:
能量守恒方程:
特解:初、边值条件





齐次初始条件如下:
能量守恒方程简化为:



变分和耦合原理:
设是区域内体力,,在边界上得应力及温度。

Danilovskaya’s problem
考虑的半空间平面热冲击问题,边界自由

给边界一个具体温度
不计体力与热源
:热弹性耦合系数
所有量均是无量纲化的结果。
初始、边界条件

:heaviside阶梯函数
对方程进行拉普拉斯变换,
消去,得:

是以下方程的根:
由于逆变换任务繁重,考虑两种极限情况:



:弹性波:热波
时,,都会发生跳跃,这个幅值为:
时,,,
考虑温度变化率的热弹性理论:TRDTE
此时,熵不等式变的更一般化:
能量函数:
线性近似:
新的材料常数
消去得:
构成了TRDTE各向异性均匀材料的完整体系。
各向同性材料
这个理论引入了两个新的材料常数
热波波速:
能量方程:
不计体力和内热源
设:
代入上式:
初始边界条件:


消去:
增加初始条件:
设
应满足:
其中各系数均为材料常数。实值函数
假定添加边界条件:

特征函数,满足

Danilovskaya’s problem
控制方程如下:
经拉式变换后,解得: