6-3二阶常系数线性微分方程.ppt

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二阶常系数线性微分方程
一、线性微分方程解的结构
二、二阶常系数线性齐次微分方程
三、二阶常系数线性非齐次微分方程
的方程,,方程(1)成为
称为二阶线性齐次微分方程,当时,方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程.
形如
一、线性微分方程解的结构
当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时,则称方程
为二阶常系数线性齐次微分方程,称方程
/
为二阶常系数线性非齐次微分方程.
线性相关与线性无关
例如,
线性无关;
线性相关.
定理2 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶线性齐次微分方程(2)的两个线性无关的特解,则
就是方程(2)的通解.
例1 判断是不是二阶常系数线性齐次微
分方程的通解.
解易验证: 都是它的解.
不是所给方程的通解.
由定理2知
而
,说明是线性相关的两个解,
事实上,由通解的定义也可判断不是方
程的通解.
定理3 如果函数
是线性非齐次方程(1)的一个特解,
Y是该方程所对应的线性齐次方程(2)的通解,则
是线性非齐次方程(1)的通解.
由以上定理可知:
求二阶非齐次线性方程通解的一般步骤:
(1)求齐次线性方程
的线性无关的两个特解
得该方程的通解
(2)求非齐次线性方程
的一个特解
,那么非齐次线性方程的通解为
练习1
所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程
解
二、二阶常系数线性齐次微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程
根据特征方程(5)的根的情况得微分方程(3)的通解:
两个不相等的实根
两个相等的实根
特征方程:
微分方程:
的两个根r1,r2
的通解
特征方程法
求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤:
,并求出特征方程的两个根;
2 .根据两个特征根的不同情况,按照下表写出微分方程的通解:
两个不相等的实根
特征方程:
微分方程:
两个相等的实根
的两个根r1 ,r2
的通解
例2 求微分方程
解其特征方程为
即(r+1)(r–3)=0,
.
2
d
d
1
|
0
0
的特解
,
=
=
=
=
t
t
t
s
s
满足初始条件
例3
0
d
d
4
d
d
4
2
2
求微分方程
=
+
-
s
t
s
t
s
解
练习2 求方程
满足初始条件
的特解.
解该方程的特征方程为
它有重根
其通解为
求得
将
代入上两式,得
因此,所求特解为