《圆的一般方程》课件.ppt

圆的一般方程

把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,展开整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
在这个方程中,令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,则这个方程可以表示成x2+y2+Dx+Ey+F=0, ①
其中D,E,F为常数。
方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
这是一个二元二次方程,把它同一般的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ②比较,发现它具有两个特点:
(1)x2和y2项的系数相同且不为0;
(2)没有xy项。
因为所有的圆的方程都可以表示成①的形式,所以方程①的以上两个特点就成为二元二次方程表示圆的必须具备的条件,利用这两个条件,我们可以判定哪些二元二次方程的曲线肯定不是圆。
例如可以断定方程x2+2y2-2x-3y+7=0和x2+xy+y2-3x-4y+5=0所表示的曲线都不是圆。
那么具备这两个条件的二元二次方程是否一定表示圆呢?
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得
(1)当D2+E2-4F>0时,将方程③与圆的标准方程比较,可以看出方程①表示的
③
是以为圆心,
为半径的圆;
(2)当D2+E2-4F=0时,方程③只有实数解,所以方程①表示一个点
(3)当D2+E2-4F<0时,方程③没有实数解,因而方程①不表示任何图形。
因此只有当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示一个圆,这时这个方程叫做圆的一般方程。

,求圆的一般方程也是用待定系数法. 由于在圆的一般方程中含有三个参变数,必须具备三个独立的条件才能确定出一个圆的方程;
,并且已知条件和圆心的坐标或半径都无直接关系,此时可设圆的一般方程再用待定系数法求出D,E,F.
,并写出圆的圆心坐标和半径。
(1)x2+y2+4x-6y-12=0;
(2)4x2+4y2-8x+4y-15=0。
(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程。
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
依题意得方程组
解得
得到的圆的方程是x2+y2+6x-2y-15=0.
(1,2),B(3,4)且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为圆过A(1,4),B(-2,3),
所以 D+2E+F=-5, ①
3D+4E+F=-25, ②
令y=0 得x2+Dx+F=0,设圆C与x轴的两个交点的横坐标分别是x1,x2,
由韦达定理,得x1+x2=-D,x1x2=F,