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§ 幂级数
函数项级数的一般概念
幂级数及其收敛区间
幂级数的运算
函数展开成幂级数
一函数项级数的一般概念
设
为定义在区间 I 上的函数项级数.
对
若常数项级数
敛点,
所有收敛点的全体称为其收敛域;
若常数项级数
为定义在区间 I 上的函数列, 称
收敛,
发散,
所有
为其收
为其发散点,
发散点的全体称为其发散域.
为级数的和函数, 并写成
若用
令余项
则在收敛域上有
表示函数项级数前 n 项的和, 即
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数
称它
二幂级数及其收敛区间
形如
的函数项级数称为
其中
称为幂级数的系数.
的幂级数,
称为
的幂级数.
定理 1. ( Abel定理)
(2) 若当
的一切 x 幂级数都发散.
时该幂级数发散,
则对满足不等式
(1)若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛;
这里
几何说明
收敛区域
发散区域
发散区域
如果幂级数
不是仅在
一点收敛,
也不是在整个数轴上都收敛,
则存在正数
,使得
当
时,幂级数绝对收敛;
当
时,幂级数发散;
当
时,幂级数可能收敛也可能发散.
这样的正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间,
规定:
(1) 幂级数只在
处收敛,
收敛区间
收敛半径
(2) 幂级数对一切
都收敛,
收敛半径
收敛区间
说明:
幂级数
如果在
处条件收敛,
则
一定是该幂级数收敛区间的端点,
即该幂级数的收敛
半径
四种形式之一:
它为下列
定理2.
的系数满足
1) 当≠0 时,
2) 当=0 时,
3) 当=+∞时,
则
若
证:
1) 若≠0,
则根据比值审敛法可知:
当
原级数绝对收敛;
当
原级数发散.
即
时,
即
时,
2) 若
则根据比值审敛法可知,
3) 若
则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散,
对任意 x 原级数
收敛,因此
因此级数的收敛半径
对端点 x =-1,
的收敛半径及收敛区间.
解:
对端点 x = 1, 级数为交错级数
收敛;
级数为
发散.
故收敛区间为