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排列组合问题的求解策略

[主题词] 排列组合求解
[摘要] 计数问题是现实生活中最普遍排列与组合问题与现实生活密切相关,有关这类问题的解答的基础是两个计数原理,但是在实际求解过程中必须讲究解题策略和方法技巧。
解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题,其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
例1 、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有( )

分析:由题意可先安排甲,并按其分类讨论:1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有种排法;2)若甲在第二,三,四位上,则有种排法,由分类计数原理,排法共有种,选C。
解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。
例 2、 4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种?
分析: 因恰有一空盒,故必有一盒子放两球。1)选:从四个球中选2个有种,从4个盒中选3个盒有种;2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有种,故所求放法有种。
二、元素分析与位置分析法
对于有附加条件的排列组合问题,一般采用:先考虑满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置。
例3、用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )。
24个 B。30个 C。40个 D。60个
[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类:1)0排末尾时,有个,2)0不排在末尾时,则有个,由分数计数原理,共有偶数=30个,选B。
例4、马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,那么满足条件的关灯方法共有多少种?
分析:表面上看关掉第1只灯的方法有6种,关第二只,第三只时需分类讨论,十分复杂。若从反面入手考虑,每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列,于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种数为。
三、插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例5、7人站成一排照相, 若要求甲、乙、丙不相邻,则有多少种不同的排法?
分析: 先将其余四人排好有种排法,再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入,则有种方法,这样共有种不同排法。
对于局部“小整体”的排列问题,可先将局部元素捆绑在一起看作一个元,与其余元素一同排列,然后在进行局部排列。
例6、 7人站成一排照相,甲、乙、丙三人相邻,有多少种不同排法?
分析: 把甲、乙、丙三人看作一个“元”,与其余4人共5个元作全排列,有
种排法,而甲乙、