论文：随机变量函数的分布.doc

内容分布图示

★随机变量的函数
★离散型随机变量函数的分布★例1
★连续型随机变量函数的分布
★例2 ★例3 ★例4
★例5
★有关直接确定密度函数的一个定理
★例6 ★例7 ★例8
★例9
★内容小结★课堂练习
★习题2-5 ★返回
讲解注意:
一、随机变量的函数
定义如果存在一个函数, 使得随机变量满足:
,
则称随机变量是随机变量的函数.
注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律.
一般地, 对任意区间, 令, 则
注: 随机变量与的函数关系确定,为从的分布出发导出的分布提供了可能.
二、离散型随机变量函数的分布
设离散型随机变量的概率分布为
易见, 的函数显然还是离散型随机变量.
如何由的概率分布出发导出的概率分布? 其一般方法是:先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值, 然后对的每一个可能取值确定相应的于是
从而求得的概率分布.
三、连续型随机变量函数的分布
一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.
设已知的分布函数或概率密度函数, 则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得:
其中
而常常可由的分布函数来表达或用其概率密度函数的积分来表达:
进而可通过的分布函数, 求出的密度函数.
定理1 设随机变量具有概率密度,又设处处可导且恒有(或恒有), 则是一个连续型随机变量,其概率密度为

其中是的反函数, 且
例题选讲:
离散型随机变量函数的分布
例1(讲义例1)设随机变量具有以下的分布律, 试求的分布律.

连续型随机变量函数的分布
例2(讲义例2)对一圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度.
例3(讲义例3)设, 求的概率密度.
例4 设, 求的密度函数.
例5(讲义例4)已知随机变量的分布函数是严格单调的连续函数, 证明服从上的均匀分布.
例6(讲义例5)也服从正态分布.
例7