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§ 单因素方差分析
I 数学模型
(1) 单因素问题就是只考虑一个因素A对试验指标的影响问题。设此因素A有r个不同水平;在水平下,重复进行次试验,获得试验指标的个数据即样本:
;
这里,为水平下的总体,;下面做两个基本假设:
(H1) 总体是独立的,且
,
其中,及均为未知参数;(注意:具有相同的方差!)
(H2) 为的简单样本。
(2) 单因子方差分析中的数学模型:
定义下列符号:
表示随机误差;
表示数据总数;
表示组内平均值;
表示总的平均值(及组间平均值);
表示水平对试验指标的效应值;
;
数据的数学模型为:
注1:在此模型中,未知参数有r+1个:
及在中的r-1个。
将此模型与一元线性回归中的数学模型进行比较:
数学模型
数据模型
一元线性回归
单因素方差分析
不成立
单因素方差分析
成立
这里,
或。
当成立时,Y的简单样本就是:
,
其容量为:n. 显然,方差分析的数学模型比线性回归的数学模型要简单。显然,当成立时,单因素方差分析中的数学模型是一元线性回归数学模型的特例。
II 方差分析
(1) 假设检验问题一个因素的不同水平对试验指标影响的差异体现在:“是否为零”的这一结论上。因此,假设格式为:
或; ;
(2) 基本符号注意:在假设成立的条件下,数据集
为因素A的简单随机样本。定义下列符号:
第i组的样本均值:;
总的样本均值:;
第i组样本均值为的无偏估计:;
总的样本均值为组间均值的无偏估计:;
总的离差平方和:;
组间差平方和: ;
组内差平方和: ,
即:。
(3) 基本关系
(i) 误差分解式:
. (*)
证

故(*)式成立。
(ii) 误差平方和的基本特性:
(1*) ;;
(2*) 当成立时,;;
(3*) 与独立,
证注意,
;
;
按抽样分布定理,有
; .
此即(1*).
注意,

;
按抽样分布定理,当成立时,有;
按误差分解式及结论(1*),有
;
故得(2*)
注意,
;
现在,按抽样分布定理,与独立;按样本的定义,当时,与是独立的;于是,与独立。注意,
;
于是,与独立;从而,
与独立.
综合起来,得: 与独立。
注:当成立时, 可有如下表示:

.
(4) 检验统计量与否定域设计F-统计量:
(当成立时);
注意,当较大时,,,否定域的结构应为:
又为的一个无偏估计。故可由下式决定:
。
查F-表可得: 。最后,可确定否定域中的待定量c:
。
(5) 单因素方差分析表与判决
单因素方差分析表的设计
方差来源
自由度
平方和
均方差
F-值
判决
因素
A
若(*)真则拒绝
误差
若(*)假则接受
总和
(*)
此表涉及到的计算公式如下:
;
;
;
我们将用来代替尾概率关系
;
判决时,不采用来作判断;而直接按否定域的含义进行判决。
注:从分析表中可以看出:参数(即水平数)必须大于1,即;样本容量:
。
习题5(): 2
例