方格子系统中投掷长针的Buffon问题.pdf

复旦大学
硕士学位论文
方格子系统中投掷长针的Buffon问题
姓名:李光勤
申请学位级别:硕士
专业:基础数学
指导教师:应坚刚
20040401
复里盔茎堑主堂蕉遨摘要在第一章引言中,简单介绍了肋墩胛侍獾囊恍┮阎5南喙亟,!的针时,针与方格予的横轴和纵轴的交点总数的分布的一个粗略的本文主要考虑了在间距为那蜃愎淮蟮姆礁褡酉低持型度氤ざ为。的针时,针与方格子的横轴和纵轴的交点之和的分布问题以及相应的极限分布问题和交点的联合分布问题。文章首先介绍了投针问题的一些已知的相关结果和由这些结果出发得到的关于上述分布的一个结果,然后求解了交点总数与针长的比值在针长趋于无穷大时的极限分布,最后讨论了针与横轴和纵轴的交点个数的联合分布。果,并给出了在间距为那蜃愎淮蟮姆礁褡酉低持型度氤ざ任猣∈在第二章中,我们给出了在证明定理时用到的两个重要引理。在第三章中,基于上述两个引理,我们得到了交点总数的分布和相应的极限分布。在第四章中,主要讨论了针与横轴和纵轴的交点个数的联合分布。关键词:概率,分布函数,联合分布函数表达式。
复里盔堂堑圭堂焦麴琲甒琍.—∈裪∈甌眩,:瓵瑃—瑆,
第一章引言沩针的长度,日为针与系统水平方向的夹角,∈Ψ直鹞U胗胂低为口緇】的概率分别为弧皊口一【研琭恳弧緁值为【赾的概率分别为涣琭一【%】表示恼糠帧6业比崭ǖ氖焙,已相互独立。于是,给在这一章中我们将给出投针问题的一些已知的相关结果,并给出在间距为那蜃愎淮蟮姆礁褡酉低持型度氤ざ任猣∈,的针时,针与方格子的横轴和纵轴的交点总数的分布的一个粗略的表达式。在本文横轴和纵轴的交点个数。投针问题是几何概率中的一个经典问题,最初是研究在间距为钠叫邢咧型度氤ざ任猣∈,的针时针与平行线的交点个数的分布,继而研究了针长为任意实数的情况,而且大学给出了此时交点个数与针长的比值在针长趋于无穷大时的极限分布为分布。后来人们又研究了在间距为姆礁褡酉呦低持投入长度为恼胗敕礁褡拥慕坏愀鍪姆植迹⒏隽苏氤のH意实数时交点个数的数学期望。本文主要解决了在间距为姆礁褡酉低持投入长度H我庹凳恼胧保胗敕礁褡拥慕坏愀鍪姆植记榭觥在给定的区域无限大间距为姆礁褡酉低持校悸荁墩胛侍狻不失一般性,我们可以假定针长为。,而且仅需要考虑针与水平方分别为琙浚枵胗牒嶂岷妥葜岬慕坏愀鍪直鹞猣Γ騛取值中我们将用到下面的记号:的
;蝗【/】,仇橙簟㈣盘疽鰈复星盔兰亟圭兰丝篮塞其目∈,到∈巳∈【.凇蔇唬矗赾刎口】口】这里把目限定在【蒥而不是,§】是因为所以只需要在省,;】内考虑即可。。一。【唬】緇于是,问题就转化为对固定的睿蠼饴阆率鎏跫定坏阕苁猭的概率为的牟舛取
芾】:窲巍躘掣】堡≯丽﹝ぁ【厕尽蜤丽值范围为/万■砜川:琜//琜【唬第二章引理—觥舓二二下面在区间孚縡#弧可咸致钆水的取值。首先,按照口取得的不同整数值将,刘做如下的划分在区间ǎ琣,·一,夏冢琁诘娜谠诖饲淠诮鋈〉靡桓稣担如果取得多个整数值,则有、/一—毕匀徊荒苋〉枚喔稣怠S捎谠谏鲜龌值娜我磺淠诙疾荒苋〉昧礁稣怠如果所以,于是因而,
掣鳼≤廊私荆骸救傅,廊≥掣≥丝隿日≤厢獂/唬【争】希么省緙/瓢,丝裳,要么省緙/矛了可研,以∞.于是,【冢瑍/茅干下研甽证:对于给定的绻鹙∈【以ⅲ圯菹卵,则—丁猣籌趕—簟猧籌吲参:。氐淖钫尚十鬧乎【正卫;则恕踋酢簟竞鮢】近巨;浚騕益匹;俊苕趂。卦诖饲淠诳梢匀≈礷乎縄鮷】.对于给定的,令【孚孔则省緙/ⅲ。。Ш【孚吼如果【、/丽篎酽,以,删【所以,氐淖畲笾礛绻鹒∈【卅此时——于是,所以,我们有一.’
】:%≤宰【掣㈣讵如果蔲蛄薸丽,以,。。睢耄骸厩灯ニ亟】:塞星盔堂堑圭冀顾如鼎∈【孕一,⋯,—,【譬,【冢ⅲ┝讼挛錳,谜此式对喑闪ⅰ4佣鳾数陬【恳,⋯,祀,整数】,⋯,,褚籭一褚籧≈一狫一,畆籯一箕中砖,,⋯,—珻≤靠琧——别地,令,猯籰,≥.—于是,我们有下面的引理:当礼三鄙鲜匠闪ⅰS谑相应地于是引理得证口由以上分析,。一々∈’一
巫燮≤下、/证:绻鹺∈【√ⅲ倮,在区间塑沸蚷≤塑爿竽些。≤;;如鼎∈【痭,√矿騀酽:其中一,籟ヒ一亓鞨地,令琧一,【—一琣一“,唬琻一上口畲罂梢匀〉谜【缫籭一,一,,袷甶一,—綼扎一—,玞一狫—,一是一如果≈祅,则一—一—≥一滓籭一如果取值一褚粄于是,一般地,在区间复旦大学硕士学位论文所以蹸—珻猯墨』即”一一—
獀/丝、/乒绻鹟∈/矛了可研,讵,在区间抟籘R幌耺冬抟话賛。一号。,三衃——琣一塞星丕堂堡圭堂焦鳖塞,——猭一,敢籺暌礼一%一一琣狢—其中后,,⋯,一【,一躨≤—,—躂礼一狪一琣一,⋯,上,