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§8. 正定二次型
一、惯性律

定理11. 设二次型 f=xTAx 的秩为 r .若可逆线性变换 x=Cy 及 x=Pz 分别将二次型 f 化成标准形:
f = k1y12+k2y22+…+kryr2 (ki≠0,i=1,2, …r.)
及 f = 1z12+ 2z22+ …+rzr2 (i ≠0,i=1,2, …,r.)
则 k1,k2,…,kr与1, 2, …,r中带正号的个数相同.
2. 惯性定律的几何解释
惯性定律反映到几何上, 就是经过可逆的线性变换把
二次曲线方程化成标准方程。方程的系数与所作的线性变
换有关;而曲线的类型(是椭圆型、双曲线型等)是不会因为所作的线性变换的不同而改变的.
3. 惯性指数
称二次型标准形的项数为二次型的惯性指数 r;
称二次型标准形的正项个数为二次型的正惯性指数 p;
称二次型标准形的负项数为二次型的负惯性指数 q;
显然 r= p + q =R(A)
二、二次型的正定性
1、二次型正定性的概念
定义11 设有二次型 f = xTAx ,若对任何 x ≠0, 都
有f >0, 则称 f 为正定二次型,并称对称矩阵 A 是正定矩阵,
记为 A > 0 ;对任何 x ≠0, 都有 f < 0, 则称 f 为负定二次型,
并称对称矩阵 A 是负定矩阵, 记为 A < 0 .
2. 二次型正定性的判定
定理12. 实二次型 f =xTAx 为正定二次型的充分必要
条件是它的标准形的 n 个系数全为正数.
证: 设可逆变换 x=Cy,使
f (x)=f(Cy)=k1y12+k2y22+…+knyn2.
先证充分性. 设 ki >0 (i=1,2, …,n). 任给 x≠ 0,则 y = C-1x≠0, 故
f (x)= f (Cy) = k1y12+k2y22+…+knyn2 > 0.
故 f 是正定的.
再证必要性. 用反证法.
假设