导数问题梳理.doc

导数问题梳理
问题一:有关导数概念的考察
==:
例如:若,则( C )
A , B, C, D,以上都不是
问题二:导数与切线问题
(一)求切线方程
1、求函数在点处的切线方程:
2、求过且与函数图像相切的直线方程:
①设切点坐标; ②写出函数图像在切点处的切线方程: ③将点坐标代入切线方程,求出
④将代回切线方程,得所求切线。
(二)导数与切线斜率之间的转化
例如:已知点在曲线上且曲线在点处的切线斜率为9,
则= -3
问题三:导数与单调性问题
(一)求已知函数的单调区间
①求导函数
②令,解不等式。
③写出单调区间,注意单调区间有两个或两个以上的,要用“和”或逗号连接。
(二)求含参函数()的单调区间
①求导函数
②令,因式分解找根(含参)
③讨论的大小,写出单调区间。
注意:如的判别式,则函数在R内单调递增或单调递减。
例如:(09陕西)已知函数
求的单调区间;
若在处取得极值,直线y=m与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围。w.
(三)单调性的逆向分析问题
(1)可导函数在为增函数则;(正不取等逆取等)。
(2)可导函数多个单调区间的逆向分析——数形结合(
根据函数的单调区间画出导函数的图像,并分析导函数图像满足的限定要求。
(3)函数在上(不)为单调函数
【注】相邻单调区间的公共界点可转化为极值点。
例如:1、(湖南卷)设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(Ⅰ)用表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围.
2、在内为减函数,在上为增函数,求的范围。
问题四:导数与极值问题
(一)函数极值正向求解步骤:
①求导; ②令并解之如其实根为;
③分析函数的单调性,确定极大(小)值点
④代值并说明极值
例如:设函数()。(1)求的单调区间和极值;(2)若当时恒有,试确定的范围。
(二)极值的逆向分析:
1、已知极值点求参数
可导函数在取得极值
【注】若求出参数值有多个解,一般还需要验证。
例如:在时有极值10,则, 。
2、已知极值点范围求参数范围
可导整式函数在存在极值在上有奇重根
【注】⑴三次函数y=在存在极值
例如:1、函数在内有极小值,则实数的取值范围是。
2、函数在内有极大值,在内有极小值,则的取值范围是。
3、《仿真训练一》第20题(2)
(三)极值与方程的根(或函数图像交点)的个数讨论问题
1、讨论方程根的个数,实质上就是讨论函数图像与轴的交点个数,可通过研究函数的极值与0的大小关系得到。
例如:(2009江西卷文)(本小题满分12分)
设函数.
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.
2、讨论函数与函数图像交点个数,可通过讨论的图像与轴的交点个数得到。
例如:《中档题8》第4题(3)
问题五:导数与最值问题
(一)含参函数在上的最值求解:讨论极值点与区间位置关系。(结合的图象)
例如:1、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,
(I)求f(x)的单调递减区间;
(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
2.(全国二21).设