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泰勒公式及其应用90827泰勒公式及其应用
[摘要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.
[关键词] 泰勒公式;极限;不等式;敛散性;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行列式.
1 引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.
2 预备知识
若函数在存在阶导数,则有
(1)
这里为佩亚诺型余项,称(1)f在点的泰勒公式.
当=0时,(1)式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
若函数在某邻域内为存在直至阶的连续导数,则 , (2)这里
为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)为在的泰勒公式.
当=0时,(2)式变成
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式:
.
.
.
.
.
(介值定理) 设函数在闭区间上连续,且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,使得
.
3 泰勒公式的应用
利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
求极限.
分析:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解由,得
,
于是
.
利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
当时,证明.
证明取,,则
带入泰勒公式,其中=3,得
,其中.
故
当时,.
利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
讨论级数的敛散性.
分析:直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.
解因为
,
所以
,
所以
故该级数是正向级数.
又因为
,
所以
.
因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.
利用泰勒公式证明根的唯一存在性
设f(x)在上二阶可导,且,对, 证明: 在内存在唯一实根.
分析:这里f(x)是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.
证明因为,所以单调减少,又,因此x>a时,,故f(x)
由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应