高中数学 1.4位似变换与伸缩变换教案 湘教版选修4－2.doc

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教学目标:
一、知识与技能:
理解位似变换和伸缩变换的定义及其几何意义;能用矩阵表示位似变换和伸缩变换,能把简单图形进行位似变换或伸缩变换。
二、方法与过程
通过对例题的探究,发现位似变换和伸缩变换的矩阵形式,寻求伸缩变换的逆变换和矩阵形式。
三、情感、态度与价值观
体会从具体到抽象、从感性上升到理性的循序渐进的过程;进一步培养学生积极参与、主动探索的良好学习习惯和思维品质;感受数学的符号美,领会数学公式的美学意义。
教学重点:位似变换和伸缩变换的矩阵表示和变换的运用
教学难点:位似变换和伸缩变换的几何意义和关系
教学过程
一、新课引入
如图1—8选取一个位似中心O和一个相似比,对原来图形上每个点P,连接OP,将OP在原方向上伸长或缩短到P`,使,则P` 就是P经过位似变换后变到的点。有时需要将平面上的图形放大或缩小,这可以采用位似变换来实现。
二、讲解新课:
例1 如图1—9,设平面上建立了直角坐标系,以原点为中心作相似比为()的位似变换,将每个点P变到P`,使,。求点P()经过变换之后到达的点P`()
解:向量,的坐标也就是点P,P`的坐标,分别为(),()。
由知()=()=()
即从而变换可以表示为=
所以位似变换矩阵为
当=1时,是恒等变换。
例2 由函数的图象作出和的图象。
解将上每一点的()的横坐标不变,纵坐标乘以,得到的图象,如图(1),也就是将图象在横向不变纵向拉伸到原来的2倍得到的。
将的图象上每一点()的纵坐标不变,横坐标乘就得眼的图象,如图(2),也就是将图象纵向不变横向压缩到原来的得到的。
例3 如图,设平面上建立直角坐标系,变换T将平面上每一点()的横坐标不变,纵坐标乘2,变到点P`()求变换矩阵
解:设点P()变到P`()则
因此变换矩阵为
例4 例3所说的变换将以下图形变成什么图形?
(1)直线(2)C:圆
解:(1)从例外的变换表达式中解出代入方程
得
因此,直线变成直线
(2)由代入方程得
图形是椭圆。椭圆的长半轴在轴上,长度为,由原来的圆在轴上的半径拉长到原来的2倍得到。短半轴在轴上,长度为1,就是原来的圆在轴上的半径。
一般地,设正实数,则变换或将图形在一条坐标轴的方