由数列递推公式求通项公式的常用方法.doc

由数列递推公式求通项公式的常用方法
由数列的递推公式求通项公式,它是高考中的一个热点。求数列的通项公式一般是将原数列的递推公式进行适当变形,使问题得以转化,从而求出通项公式。现举例说明如下。
一、叠加法
例1:设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3×22n-1,求数列{an}的通项公式.
解:由已知,当n≥1时, a2-a1=3×2,a3-a2=3×23,a4-a3=3×25,……,an-an-1=3×22(n-1)-1=3×22n-3,an+1-an=3×22n-1,将以上n个式子相加,得an+1-an=3×(2+23+25+…+22n-3+22n-1)=3×=2×(2-1)=22n+1-+1=a1+22n+1-2,即 an+1=22n+1=22(n+1)-1,而a1=2,所以{an}数列的通项公式为an=22n-:由本例可知,当数列的递推公式形如an+1-an=f(n)时,可以使用叠加法求解。
二、叠乘法
已知数列{an},其中a1=1,an+1=an求这个数列的通项公式.
解:由已知,得=,则=,=,=,…=,=.将以上n-1个式子相乘,得=×××…××=.又a1=1,故an=. 小结:由本例可知,当数列的递推公式形如=f(n)时,可以使用叠乘法求解.
三、构造法
例3: 在数列{an}中,a1=1,sn+1=4an+2,求这个数列的通项公式.
解:
∵a1=s1=1,∴a2=s2-s1=4a1+2-1=5,∵an=sn-sn-1=(4an-1+2)-(4an-2+2)=4(an-1-an-2),∴an-2an-1=2(an-1-2an-2),∴=2,