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巧用“五步四法”求动点轨迹方程
求动点的轨迹方程是高考的热点,从近几年全国各地高考求动点的轨迹方程的题目得分情况来看,普遍得分率不高。究其原因主要有两个:一是轨迹问题涉及的知识面广而深,它需要从众多表面现象抽象出动点的运动本质,很多学生审题不清导致无法读懂题意,从而失分;二是有的题目动点所满足的关系式比较复杂或隐蔽,很多学生被繁杂的运算困扰导致半途而废,眼睁睁地看着丢分。笔者结合多年的教学实际,具体介绍一下如何巧用“五步四法”求动点的轨迹方程。“五步”即:建系—设点—列式—化简—检验;“四法”即:定义法、相关点法、参数法、交轨法。

定义法的依据在高中阶段通常是圆、椭圆、双曲线、抛物线等的定义。定义往往隐含在题目已知条件当中,我们要善于结合相关的定义,注重数形结合,挖掘它们的位置关系,从而列出动点所满足的关系式。
例1:已知△abc的两顶点a、b分别是曲线x2+5y2=5的左、右焦点,且内角满足,则顶点c的轨迹方程是___________。
[分析] 题中涉及两个定点a、b,并且关于原点对称,可以联想c的轨迹可能是圆或椭圆或双曲线,因而可以从找|ca|与|cb|的关系入手。首先由三角形和三角函数自然可想到利用正、余弦定理将已知关系式化为|cb|-|ca|=
|ab|,即|cb|-|ca|= 。再依双曲线定义可知c点的轨迹为以a、b为焦点的双曲线的一支。然后依
“五步”(建系步骤省略)法,即可求出顶点c的轨迹方程。
[答案] x2-y2=2(x0)上除原点外的两个动点,已知oa⊥ob,om⊥ab(o为坐标原点),则点m的轨迹方程为_________。
[分析] 题中共有三个动点a、b、m,此题我们可以先设直线ab的方程为y=kx+b (斜率k存在且不为0时),a( x1,y1 ),b( x2,y2 ) ,联立y2=4px得到一个关于x或y的一元二次方程,再由韦达定理及oa⊥ob可得 x1x2+y1y2=0,进而得到b=-4kp。又可知直线om的方程为y=- x,设坐标m(x,y),联立两直线方程则有,
,消去 k,b即可得m点的轨迹方程。当斜率k不存在或为0时,亦可得证。
[答案]x2+y2-4px=0 (x≠0)。

交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程,也即首先