平面直角坐标系和极坐标教师版.doc

平面直角坐标系和极坐标
为了需要,复面坐标系(直角坐标系和极坐标)
一平面直角坐标系
平面直角坐标系的建立:为了确定平面上点的位置:
在平面上选定两条互相垂直的直线,并指定正方向(用箭头表示);以两直线的交点O作为原点;
选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度;这样,我们就说在平面上建立了一个直角坐标系(图1-2-1)
图1-2-1
这两条互相垂直的直线叫做坐标轴的位置上,从左到右的方向是正方向,这条轴叫做横坐标轴,简称为横轴或x轴,与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴,简称为纵轴或y轴,从下到上的方向是它的正方向。
2. 平面上点的坐标
建立了直角坐标系后,平面上的任意一点P的位置就可以确定了,方法是这样的:由P点分别作y轴和x轴的平行线,交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a,y轴上有向线段ON的数量是b,我们称a是P点的横坐标,b是P点的纵坐标,写成形式(a,b),这样的一对有序实数(a,b)叫做P点的坐标。反过来,易知任意一对实数(a,b),都可以确定平面上的一个点.
由上面的分析,可以得到下面的结论:在给定的直角坐标系下,对于平面上的任意一点P,我们可以得到唯一的有序实数对(a,b)来和它对应;反过来,对于任何有序实数对,在平面上就能确定唯一的点,这个点的坐标是(a,b)。就是说,平面上的点和有序实数对(a,b)之间建立了一一对应得关系。
我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分,每一部分是一个象限。根据数轴上有向线段的数量,可以理解第I象限内的点的坐标的符号是(+,+),第II象限内的是(—,+),
第III象限内的是(—,—),第IV象限内的是(+,—)。坐标轴上的点不属于任何象限,在x轴的正方向上的点,坐标的符号是(+,0);负方向上的点的坐标符号是(—,0)。同理,
在y轴的正方向上的点,坐标的符号是(0,+);负方向上的点的坐标符号是(0,—)。
二极坐标
极坐标是另外一种重要的坐标法,有些几何轨迹题如果用极坐标法处理,它的方程比用直角坐标系来得简单,在数学分析中经常用到。
在平面的直角坐标系中,是以一对实数来确定平面上一点的位置,现在叙述另一种坐标,它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定,但这一对实数中,一个是表示距离,而另一个则是指示方向。一般来说,取一个定点O,称为极点,作一水平射线Ox,称为极轴,在Ox上规定单位长度,这样就组成了一个极坐标系。平面上一点P的位置,可以由OP的长度及其∠xOP的大小决定,这种确定一点位置的方法,叫做极坐标法。具体地说,假设平面上有点P,连接OP,今设OP=,又∠xOP=. 和的值确定了,则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径,叫做P点的极角,叫做P点的极坐标(规定写在前,写在后)。显然,每一对实数决定平面上一个点的位置。
今以的值可为任何的正的或负的值(依逆时针方向转动所成的角规定为正,顺则为负),又为处理上便利起见,也可以是负的值,如图1-2-2,OC为角的终边,规定在OC上度量的数为正,而在OC的相反方向,即OC的延长线上度量的数为负,如图1-2-2中,若点P的坐标为,则点P’的坐标为。
图1-2-2
,的值照上面这样扩大之后,则在极坐标系中,一点的坐标有无穷的实数对。例如,在图1-2-2中,可以看到,点P的坐标一般写为,也可以写成,
,,又P’.
图1-2-3
极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3所示,将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为(x,y),在极坐标系下的坐标为, 则有下列关系成立:即
另外还有下式成立:.
给出极坐标系中点P=(2,)的直角坐标。
解: 由上面的讨论知:故点P的直角坐标为(1,).
极坐标方程的形式为. 在极坐标里,从,的每一组对应的值作为点的坐标,并且标出这些点,然后用平滑的曲线依次连结这些点,所得到的曲线就称为这个极坐标方程的曲线。反过来,称这个方程为这个曲线的极坐标方程。
试作曲线.
显然表示的是一条直线。
.
显然表示的是一个以2为半径的圆周。
.
解因为,故曲线可以写为:即又,
故有:即:
显然该方程表示的是以(1,0)为圆心,以1为半径的圆周。
第三节空间直角坐标系
在平面几何中通过平面的解析几何,将数与形紧密地连接起来,用代数的方法研究平面几何,,.
在我们生活的三维空间中,取一个平面将之分割为两部分,在此平面上建立一个直