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数形结合思想在解题中的应用

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数形结合思想在解题中的应用
摘要:“数形结合”作为数学中的一种重要思想,在高中数学中占有极其重要的地位,掌握这种思想并运用于做题尤为重要,本文就这方面做了主要阐述。
关键词:数形结合、思想、运用
引言
数学研究的主要对象是空间形式和数量关系,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。
数与形是数学的两大支柱,它们是对立的,也是统一的。正如矛和盾总是同时存在一样,有“数”必有“形”,有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过:“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!”寥寥数语,把数形之妙说得淋漓尽致。忽视数与形的任何一方面,都会使数学变得残缺不全。正如华罗庚先生所说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”。
数形结合应用技巧
数形结合简言之就是:见到数量就应想到它的几何意义,见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中,数形结合对启发思路,理解题意,分析思考,判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分,根据数形结合的观点,可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质,也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系,因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯,在初一代数教学中我们就已经接触到了数形结合的思想和方法。
解题方法指导:
:
①通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。
②转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。
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①“由形化数”:就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含的数量关系,反映几何图形内在的属性。
②“由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系,提示出数与式的本质特征。
③“数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征,观察图形的形状,分析数与式的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
数形结合中“数”与“形”的信息转换,相互渗透,不仅可以使一些题目的解决简捷明快,同时还可以大大开拓我们的解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法,而应作为一种重要的数学思想,它是将知识转化为能力的“桥”。因此它在现今教育中越来越受到老师和同学们的重视,但如何掌握这种思想更重要,下面就结合具体实例谈谈数形结合思想主要在那些在解题中得到应用:
一、构造几何图形解决代数与三角问题:
1、证明恒等式:
例1 已知、、、均为正数,且
求证:
分析:由自然联想到勾股定理。由
可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形(如图)。对照图形,由直角三角形面积的两种算法,结论的正确性一目了然。
证明:(略)
小结:涉及到与平方有关的恒等式证明问题,可构造出与之对应的直角三角形或圆,然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式:
例2 已知:0<<1,0<<1. 求证:
证明:如图,作边长为1的正方形ABCD,在AB上取点E,使AE=;在AD上取点G,使AG=,过E、G分别作EF//AD交CD于F;作GH//AB交BC于H。设EF与GH交于点O,连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.
由题设及作图知△、△、△、△均为直角三角形,因此

且
由于所以:
当且仅当时,等号成立。
小结:在求证条件不等式时,可根据题设条件作出对应的图形,然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
3、求参数的值或参数的取值范围:
例3 若方程(>0)的两根满足:<1,1<<3,求的取值范围。
解析:画出与方程对应的二次函数(>0)的草图:

由图可知:当=1时,<0; 当=3时,>0.
即<0 ; >0.
解得:<<1.
例4 若关于的不等式的解集仅有一个元素,求的值。
解:如图:在同一坐标系内,作出与的图象。题设条件等价于抛物线
在直线与之间的带状区域仅有一个交点,且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知:这个交点只能在直线上,故方程组仅有一组解。
即