第四章不定积分
§2 换元积分法
基本思路
设可导,则有
一、第一类换元法
定理1. 则有换元公式
即
(也称配元法, 凑微分法)
例1. 求
解: 令则故
原式=
注: 当时
例2. 求
解:
.
例3. 求。
解: .
即.
例4. 求
解:
=-ln|cos x|+C .
类似
例5. 求
解:
∴原式=
.
常用的几种配元形式:
例6. 求
解: 原式=
.
例7. 求
解:
.
例8. 求
解: 原式
例9. 求
解法1
解法2
例10. 求
解法1
=
解法 2
同样可证
或
例11. 求
解: 原式=
例12 . 求
解:
例13. 求
解:
∴原式=
例14. 求
解: 原式=
例15. 求
解: 原式
小结
常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
(2) 降低幂次: 利用倍角公式, 如
万能凑幂法
(3) 统一函数: 利用三角公式; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求易求
若所求积分难求
易求,
则得第二类换元积分法.
定理2 . 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
证: 令
则
例16. 求
解: 令
则
∴原式
例17. 求
解: 令
则,
∴原式
例18. 求
解:
令,
则,
∴原式
令于是
例19. 求
解: 令则
原式
原式
当 x < 0 时, 类似可得同样结果.
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
令
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
2. 常用基本积分公式
(19),
(20),
(21),
(22),
(23)
(24).
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