第二节二重积分的计算方法
第八章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
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设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
上连续,
复行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算.
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牛顿–莱布尼兹公式
( 牛顿- 莱布尼兹公式)
证:
根据定理 2,
故
因此
得
记作
定理
函数,
则
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定积分的换元法
定理1 设函数
函数
满足:
1)
2)
则
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定积分的分部积分法
定理2
则
证:
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一、利用直角坐标计算二重积分
曲顶柱体的底为
任取
平面
故曲顶柱体体积为
截面积为
截柱体的
设曲顶柱体的顶为
X型区域
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同样, 若曲顶柱的底为
则其体积可按如下两次积分计算
Y型区域
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为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域,
则
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域,
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均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效.
由于
当被积函数
补充说明
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