D96几何中的应用.ppt

D96几何中的应用66816二、空间曲线的切线与法平面
第六节
一、一元向量值函数及其导数
三、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
一、一元向量值函数及其导数
引例: 已知空间曲线的参数方程:
的向量方程
对上的动点M ,
即是
此方程确定映射
,称此映射为一元向量
的终点M
的轨迹,
此轨迹称为向量值函数的终端曲线.
值函数.
要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性,就需要引进向
量值函数的极限、连续和导数的概念.
定义: 给定数集 D  R , 称映射
为一元向量
值函数(简称向量值函数), 记为
定义域
自变量
因变量
向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、
连续和导数密切相关,
进行讨论.
极限:
连续:
导数:
严格定义见P91
因此下面仅以 n = 3 的情形为代表
向量值函数的导数运算法则: (P92)
设
是可导向量值函数,
是可导函数, 则
C 是常向量,
c 是任一常数,
例1. 设
解:
向量值函数导数的几何意义:
在 R3中, 设
的终端曲线为,
切线的生成
点击图中任意点动画开始或暂停
表示终端曲线在t0处的
切向量,
其指向与t 的增长方
向一致.
, 则
设
向量值函数导数的物理意义:
设
表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有
速度向量:
加速度向量:
例2. 设空间曲线的向量方程为
求曲线上对应于
解:
的点处的单位切向量.
故所求单位切向量为
其方向与 t 的增长方向一致
另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为
= 6
例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺
求
旋式上升, 其位置向量为
(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;
(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
二、空间曲线的切线与法平面
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
置.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
给定光滑曲线
在
点法式可建立曲线的法平面方程
利用
点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的
法向量均为
点向式可建立曲线的切线方程