二维浅水波方程糙率反演的布谷鸟算法研究.doc

二维浅水波方程糙率反演的布谷鸟算法研究.doc哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
率,也具有实际的应用价值。
二维浅水波方程的研究现状
浅水波方程中系数及解的相关性质具有极大的应用价值,我们可以通过
研究浅水波方程揭示波的传播规律,解释各种自然现象,确定相应的应对措施。
最早 Camassa 和 Holm [2]得到了一类可以同时描述孤子解和波的破裂两
种现象的浅水波方程,具有如下形式:
u + 2ku -u +3uu = 2u u +uu (1-1)
t x txx x x xx xxx
其中 u(t, x)—流体的运动速度(t 时刻 x 方向上),k 是一个常数,与临
界波速相关。CH 方程有很多好的性质,引起了众多学者的广泛关注。次年,
Camassa, Holm 和 Hyman [3]又发现了一个新的可积型浅水方程。这样的方程
具有相关孤子解,他们之间的非线性相互作用和重新出现的结构,能够保持
他们的特性,还能显示粒子的散射行为。
1999 年,Degasperis 等[4]得到了另一个可积浅水波方程,与 CH 方程十
分相似,其形式如下:
u -u + 4uu = 3u u +uu (1-2)
t txx x x xx xxx
对于浅水波方程的数值求解过程,1967 年美国 Leendertse 首次使用交替
方向隐(ADI)差分格式来模拟二维的潮汐水流[5], 并很快得到推广,这是有
限差分方法在浅水动力学中的早期应用。后来国际上又应用苏联数学家
Yanenko 等[6]人的分裂法,从按空间坐标分裂到按物理机制分裂来控制浅水
波方程。1972 年,Wang 等[7]在将 Galerkin 有限元方法应用于浅水波问题的
数值求解,取得了很好的结果。1982 年,Douglas 和 Russell[8]等提出 MMOC
(修正特征线法)。该方法从特征方向对时间进行离散,无需使用高度精细
的风格,与传统的时间步长方法相比,不仅有效控制了数值弥散和非物理震
荡,而且容许的时间步长更大,从而提高计算效率。2003 年,Sanders 等[9]
对一个假设的 4000 米长,2500 米宽,平均水深 6 米的矩形盆地,采用隐式
有限体积浅水模型,在并行的 Boewulf 机群上进行了流场并行数值计算。2005
年,斯坦福大学的 Bryson[10]基于非结构化三角形网格,提出一种新的和谐中
心差分格式,在模拟具有复杂边界的二维浅水计算中实现良好的应用。
求解方程解析解这方面,1999 年,Constantin 和[11]先在满足一定
初始条件下得到了具有自由表面的浅水波方程全局弱解的存在唯一性。2004
年,刘颖发现两个浅水波方程组——长水波方程组和变形的 Boussinesq 方程
组可以通过非线性变换退化成线性方程。进行退化后,她得到了方程的五种
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解:行波解、N—孤子解、有理数解、空间周期解和相似解[12].同年,张理论、
宋君强等[13]采用高阶谱元素方法求解两维浅水波方程, 给出了并行计算及
其有效实现的条件, 取得了较满意的效果,并且证明了高阶谱元素方法是一
种有效的, 颇具并行潜力的方法。
对于浅水波方程的参数设定及反演方面,1972 年,Becker 等[14]率先构造
了一个关于明渠非恒定流参数辨识的“影响系数算法”,对糙率进行反演计
算。2003 年,李光炽等[15]提出了一种求解河道水流及其糙率系数反演的新方
法,该方法采用四点线性隐格式离散法去求解水流方程,用卡尔曼滤波反演
河道糙率,文章将其应用于淮河的水流计算中,结果显示,计算水位和实测
水位非常接近,几乎完全吻合。但有些系统不能实时监测水位,此方法在这
样的系统中是难以实施的。2004 年 Yan 和 Jia 等[16]通过一系列针对确定假想
明渠以及自然河道中糙率系数值系统的研究,分析了几种基于无约束和有约
束最小化方法的识别过程。研究发现,有限记忆空间的拟牛顿方法在收敛速
度、数值稳定以及计算效率方面都更具优势。
二维浅水波方程在海洋水利、能源环境等方面有很多应用,如潮汐预测、
污染控制等等,所以参数设定的准确度对方程求解及应用都具有重大意义。
布谷鸟搜索算法的研究现状
2009 年,英国剑桥大学的 Yang 和拉曼工程学院的 Deb[17]共同开创的一
种新型元启发式算法—布谷鸟搜索算法(Cuckoo Search,CS)。该算法只选
取几个基本参数,通过 Lévy 飞行进行搜索,速度非常快,还具有选择路径
优的特点。
2011 年,Walton[18]提出了一种增加步长和最好的蛋之间信息传递的算法
来加速算法的收敛性。研究表明改