圆周率的概念.doc

圆周率的概念.doc圆的周长与直径之比是个与圆的大小无关的一个常数,人们称之为圆周率。巴比伦人最早发现了圆周率。1600年,英国威廉奥托兰特首先使用pi表示圆周率,因为pi是希腊之“圆周”的第一个字母,而是“直径”的第一字母。当直径=1时,圆周率为pi。1706年,英国的琼斯首先使用pi。1737年,欧拉在其著作中使用后来被数学家广泛接受,一直沿用至今。公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出pi值的正确求法。公元前150年左右,。公元200年间,我国数学家刘薇在《九章算术》中独立发现了用几何方法求圆周率的方法,称之为“割圆术”。公元460年,南朝的祖冲之利用刘薇的割圆术,。1579年法国韦达发现了关系式,首次摆脱了几何学的陈旧方法,寻求到了pi的解析表达式。1650年瓦里斯把pi表示成无穷乘积,无穷连分数,无穷级数等各种值表达式纷纷出现,值计算精度也迅速增加。1761年,数学家兰扪特证明了pi是一个无理数,即它是一个无限不循环的小数,不能表示成任何两个整数之比。1882年,德国数学家林徳曼证明了圆周率是一个超越数,即它不是任何一个整系数代数多项式方程的根。林德曼也因此间接解决了困惑人们两千多年的化圆为方问题,说明了该问题尺规作图的不可能性。假设n是有理数,则11=3/13,(a,b为自然数)令f(x)=(xAn)[(a-bx)An]/(n!)若0<x<a/b,则0<f(x)<(nAn)(aAn)/(n!)0<sinx<l以上两式相乘得:0<f(x)sinx<(nAn)(aAn)/(n!)当n充分大吋,,在[0,n]区间上的积分有0<Tf(x)sinxdx<inA(n+l)J(aAn)/(n!)<l (1)又令:F(x)=f(x)-f*(x)+[f(x)]A(4)--+[(-l)An][f(x)]A(2n),(表示偶数阶导数)由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及K•各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(n)也都是整数。又因为d[F’(x)sinx-F(x)conx]/dx=FM(x)sinx+F'(x)cosx-F(x)cosx+F(x)sinx=Fn(x)sinx+F(x)sinx=f(x)sinx所以有:J'f(x)sinxdx=[F(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为II,下限为0)=F(ri)+F(0)上式表示/f(x)sinxdx在[0,n]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾。所以n不是有理数,又它是实数,故n是无理数。这个问题最甲•(m/n)写成一个繁分数的形式,如果m/n是有理数,这个繁分数的项数就是无穷的,但是根据繁分数的性质,(繁分数的性质),这句话的逆反命题,也就是对于项数有限的繁分数,m/(pi/4)=l,l是有限项的繁分数,所以pi/,然后如果假设pi是有理数,这个数列会同时是一个大于0