论文关于函数一致连续性的讨论（精选）.doc

长沙学院信息与计算科学系
本科生科研训练
关于函数一致连续性的讨论
系(部): 信息与计算科学
专业: 数学与应用数学
学号: 2009031120
学生姓名: 申霁
成绩:
2012 年6 月
关于函数一致连续性的讨论
申霁
长沙学院信息与计算科学系, 湖南长沙, 410022
摘要:函数的一致连续性在数学分析中是一个比较精细的概念,,第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性,第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性,第三种利用比值判别法判断函数一致连续性.
关键词:连续函数性质区间一致连续性瑕积分比值判别法
1引言
函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍、重要和抽象的概念,反映的是函数在给定区间上的整体性质,它有助于研究函数的变化趋势及性质,是微积分学的基础.
文献[1][2]的作者讨论了如何判断函数是否一致连续,[3]的作者讨论了函数在非闭区间包括有限开区间及无限区间上,满足一致连续性的充分条件,[4]的作者结合瑕积分敛散性的判别法,[5]的作者提出了函数一致连续性的比较判别法和比值判别法定理.
本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法,第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性,第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性,第三种利用比值判别法判断函数一致连续性.
定义 1【1】设为定义在区间上的函数,若对任给的,存在,使得对任何,只要,就有
,
则称函数在区间上一致连续.
2 不同类型区间上函数的一致连续性
我们利用连续函数的性质判定闭区间上函数的一致连续性【2】,非闭区间包括有限开区间及无限区间上函数的一致连续性【3】.
定理1[2](Contor定理) 若函数在上连续,则在上一致连续.
证明,因为在点连续,所以, ,使得,若,,则
,
,
就有
||,
,
也就是说,在任何邻域内,都有
.
现在考虑,当取遍上一切点时,构成一个开区间集,它覆盖着,由有限覆盖定理,就由从中所取的有限个开区间
所覆盖,取,且,必属于中的一个,设即,
又
,
表明,所以有
,
即在上一致连续.
定理2[3] 函数在内连续,且与都存在,则在上一致连续.
证明因为函数在内连续,
所以有
,,
则在上连续,由定理1可知,在上一致连续从而在上一致连续.
定理3[3] 若在上连续,且,则在上一致连续.
证明因为,由Cauchy收敛准则有,,,有
,
又已知在上连续, 所以在上一致连续,即上述,,,有
,
于是,有
,
即在上一致连续.
定理 4[3] 若在上连续,且,则在上一致连续.
定理5[3] 在上连续,且,,则在上一致连续.
例 1【2】证在上是一致连续的.
证明设,,
2,
故对,,当时,有
,
所以在上是一致连续的.
3 利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性
结合瑕积分敛散性的判别法,给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的几种新判别方法【4】.
定理 6[4]