实际问题中导数的意义.doc

实际问题中导数的意义
教学目标:
知识与技能:
⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法
⑵会利用导数求解最值
过程与方法:
通过分析具体实例,经历由实际问题抽象为数学问题的过程
情感、态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法
教学重点:函数建模过程
教学难点:函数建模过程
教学过程:
例4:(面积容积最大问题)请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为的正六棱锥(如图所示),试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
思路点拨:设出项点O到底面中心的距离后,求出底面边长,表示帐篷的体积
解:设为,则
由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:)
于是底面正六边形的面积为(单位:)
,帐篷的体积为(单位:)

求导数,得
令,解得(不合题意,舍去),
当时,,为增函数;
当时,,为减函数.
所以,当时,最大
答:当为时,帐篷的体积最大,最大体积为
方法技巧:设出一个变量后,其他变量都用这个变量表示,然后列出所求变量的函数式,再求最值,这是这类题目的常规解决。
例5:(用料最省问题)统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为,已知甲、乙两地相距100千米。
⑴当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
思路点拨:设出汽车的速度为千米/小时,然后表示出从甲地到乙地的耗油量
解:⑴当千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油
(升)
⑵当速度为千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,依题意得

令,得
当时,,是减函数
当时,,是增函数
∴当时,取得极小值
此时(升)
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量少,
方法技巧:正确表示出函数解析式,然后利用导数求最值,其中把实际问题转化为数学问题,正确列出解析式是解题的关键
例6:(费用量省问题)要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐盖,已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半;而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半,问储油罐的半径和高之比为何值时造价最省?
思路点拨:把圆柱的高用底面半径表示出来,然后把造价表示为的函数
解:由,得,设盖的单位面积造价为,则储油罐的造价为
由解得,于是
由问题的实际意义,上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点
∴当时,储油罐的造价最省
方法技巧:本题用半径把高表示出来,把实际问题转化为关于半径的函数问题是关键
例7:(利润最大问题)某商品每件成本9元,销售价30元,每星期卖出432件。如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位:元)的平方成正比,已知商品单价降低2