竞赛模拟试卷(上犹中学奥数辅导组).doc

2009年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
(2009年3月22日星期日上午8:30~10:30)
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)
1. 设,则的最小值是。
2. 已知,且,则将表示成的函数,其解析式是。
3. 已知函数,若,且,则的取值范围是。
4. 满足方程的所有实数对。
5. 若表示不超过实数的最大整数,则方程的解是。
6. 不等式的解集是。
7. 设是由不超过的所有正整数构成的集合,即,集合,且中任意两个不同元素之差都不等于,则集合元素个数的最大可能值是。
8. 给出一个凸边形及其所有对角线,在以该凸边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中,至少有两个顶点是该凸边形顶点的三角形有个。
二、解答题
9.(本题满分14分)设函数定义于闭区间,满足,且对任意,都有,其中常数满足,求的值。
10. (本题满分14分)如图,是双曲线的右顶点,过点的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,问直线是否一定过轴上一定点?如果不存在这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点试求出这个定点的坐标。
11. (本题满分16分)设是集合的两个不同子集,使得不是的子集,也不是的子集,求不同的有序集合对的组数。
12. (本题满分16分)设正整数构成的数列使得对一切恒成立。记该数列若干连续项的和为,其中,且。求证:所有
构成的集合等于。
答案:一、
1、; 2、; 3、; 4、
5、或; 6、; 7、; 8、。
二、9、解:因为,
所以 8分
由此得,而,所以 14分
10、解法一:,将轴向右平移个单位,使点成为新直角坐标系的原点,在新坐标系下,双曲线的方程为,即(*)
若轴,则,即,代入(*)式可得,进而。所以,则点在原坐标系中的坐标为。 5分
若不垂直轴,设,则,
于是(*)可以改写成,即
该方程的两个根既是的斜率。
因为,所以, 10分
所以,故
所以过定点,则点在原坐标系中的坐标为