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数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
4、
设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解:由等差数列求和公式得, ∴= ==
∴当,即n=8时,
二、错位相减法求和
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错项相减法。, 其中是等差数列, 是等比数列,记,则,…
[例3] 求和:………………………①
解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ②(设制错位)
①-②得(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
求数列前n项的和.
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例5] 求证:
证明: 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
(反序)
又由可得
…………..…….. ②
①+②得(反序相加)
∴
求的值
四、分组分项法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和:,…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a=1时,= (分组求和)
当时,=
求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解:设
∴
五、裂项相消法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6)
[例9] 求数列的前n项和.
解:设(裂项)
则(裂项求和)
=
=
[例10] 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
解: ∵
∴(裂项)
∴数列{bn}的前n项和
(裂项求和)
= =

六、并项法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ co