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数列求和的基本方法和技巧
就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
4、
[例1] 已知,求的前n项和.
解:由
由等比数列求和公式得(利用常用公式)
===1-

[例2] 设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解:由等差数列求和公式得, (利用常用公式)
∴=
==
∴当,即n=8时,
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和:………………………①
解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ②(设制错位)
①-②得(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
[例4] 求数列前n项的和.
解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②(设制错位)
①-②得(错位相减)

∴
练习:
求:Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1
解:Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ①
①两边同乘以x,得
x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ②
①-②得,(1-x)Sn=1+4(x+ x2+x3+······+ )-(4n-3)xn
当x=1时,Sn=1+5+9+······+(4n-3)=2n2-n
当x≠1时,Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-(4n-3)xn ]
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例5] 求证:
证明: 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
(反序)
又由可得
…………..…….. ②
①+②得(反序相加)
∴
[例6] 求的值
解:设…………. ①
将①式右边反序得
…………..②(反序)
又因为
①+②得(反序相加)
=89
∴ S=
练习:
已知lg(xy)=a,求S,其中
S=
解: 将和式S中各项反序排列,得

将此和式与原和式两边对应相加,得
2S=++ · · · +
(n+1)项
=n(n+1)lg(xy)
∵ lg(xy)=a ∴ S=n(n+1)a
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和:,…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a=1时,= (分组求和)
当时,=
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解:设
∴=
将其每一项拆开再重新组合得