算法案例教案.doc

课题:§
第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
一、教学目标:
根据课标要求:在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力。制定以下三维目标:
1、知识与技能
理解算法案例的算法步骤和程序框图.
2、过程与方法:
引导学生得出自己设计的算法程序.
3、情感态度与价值观:
体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.
二、重点与难点:
重点:引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
解决策略:通过分析解决具体问题的算法步骤来引导学生写出算法,根据算法画出程序框图,再根据框图用规范的语言写出程序。
难点:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.
解决策略:让学生能严谨地按照自己是程序框图写出程序。
三、学法与教学用具:
1、学法:直观感知、操作确认。
2、教学用具:多媒体。
四、教学过程
(一)引入课题
大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、,我们学过求两个正整数的最大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105),——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.
(二)研探新知
(1)怎样用短除法求最大公约数?
(2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数?
(3)怎样用辗转相除法求最大公约数?
(4)怎样用更相减损术求最大公约数?
讨论结果:
(1)短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.
(2)穷举法(也叫枚举法)
穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数.
(3)辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.
第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r.
第四步,,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行.
如此循环,直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.
(4)更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,.”翻译为现代语言如下:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2约简;若不是,执行第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
(三)范例分析
例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序.
解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251=6 105×1+2 146.
由此可得,6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数,反过来,8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数,所以它们的最大公约数相等.
对6 105与2 146重复上述步骤:6 105=2 146×2+1 813.
同理,2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 :
2 146=1 813×1+333,
1 813=333×5+148,
333=148×2+37,
148=37×4.
最后的除数37是148和37的最大公约数,也就是8 251与6 105的最大公约数.
,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.
算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造