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可分离变量微分方程
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第二节
解分离变量方程
可分离变量方程
第十二章
分离变量方程的解法:
设 y=(x) 是方程①的解,
两边积分, 得
①
则有恒等式
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) =g(y)≠0 时,
说明由②确定的隐函数 y=(x) 是①的解.
则有
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时,
上述过程可逆,
由②确定的隐函数 x=(y) 也是①的解.
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得
两边积分
得
即
( C 为任意常数)
或
说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,
因此可能增、
减解.
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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例2. 解初值问题
解: 分离变量得
两边积分得
即
由初始条件得 C = 1,
( C 为任意常数)
故所求特解为
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例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令
则
故有
即
解得
( C 为任意常数)
所求通解:
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练习:
解法 1 分离变量
即
( C < 0 )
解法 2
故有
积分
( C 为任意常数)
所求通解:
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例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
开始时容器内盛满了水,
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
即
求水
小孔横截面积
化规律.
流量系数
孔口截面面积
重力加速度
设在
内水面高度由 h 降到
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对应下降体积
因此得微分方程定解问题:
将方程分离变量:
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