第八章
*二、全微分在近似计算中的应用
应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
本节内容
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义
可表示成
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关,
称为函数
在点(x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y)
处全增量
则称此函数
如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
可微,
在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微
当函数可微时:
得
函数在该点连续
偏导数存在
函数可微
即
定理1(必要条件)
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微,
则该函数在该点的偏导数
同样可证
证
必存在,且有
得到对 x 的偏增量
因此有
因函数在点(x, y) 可微, 故
反例: 函数
易知
但
因此,函数在点(0,0) 不可微.
注意
偏导数存在函数不一定可微!
即:
定理1 的逆定理不成立.
定理2 (充分条件)
证
若函数
的偏导数
则函数在该点可微分.
例1
在点(1,1) 处的全微分.
解
例2
的全微分.
解
计算函数
计算函数
可知当
二、全微分在近似计算中的应用
1 近似计算
由全微分定义
较小时,
及
有近似等式:
(可用于误差分析或近似计算)
(可用于近似计算)
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