第四节
一、泰勒( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
第十二章
问题:
?
?
两类问题:
在收敛域内
和函数
求和
展开
其中
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项.
则在
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数,
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式,
该邻域内有:
称为泰勒系数.
一、泰勒( Taylor ) 级数
的级数,称为f (x) 的泰勒级数.
形式为
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
1) 对此级数, 它的收敛域是什么?
2) 在收敛域上, 和函数是否为 f (x) ?
待解决的问题:
定理1 .
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
如果函数 f (x) 能在点 x0 的某邻域上
等于其泰勒级数的
和函数,则称f (x) 在该邻域内可以展开成泰勒级数.
定理2
证
逐项求导任意次,得
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