*三、二重积分的换元法
第二节
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
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二重积分的计算法
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X –型区域
则
若D为Y –型区域
则
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当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效.
由于
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域,
则
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例1. 计算
其中D 是直线 y=1, x=2, 及
y=x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
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例2. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
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例5. 计算
其中D 由
所围成.
解: 令
(如图所示)
显然,
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对应有
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线=常数, 分划区域D 为
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