2007年考研数学一真题及答案.doc

2007年考研数学一真题
一、选择题(1~10小题,每小题4分,共40分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)
当x→0+时,与x等价的无穷小量是
(A)1-e-x (B)ln1+x1-x
(C)1+x-1 (D)1-cosx
【答案】B。
【解析】
(当x→0+)时
ln1+x1-x=ln1+x-ln1-x~x
ex~-x 1+x-1~12x 1-cosx~12x
几个不同阶的无穷小量的代数和,其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
曲线y=1x+ln⁡(1+ex)渐近线的条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】D。
【解析】
由于
limx→0y=limx→01x+ln1+ex=∞,
则x=0是曲线的垂直渐近线;
又 limx→-∞y=limx→-∞1x+ln1+ex=0
limx→+∞y=limx→+∞1x+ln1+ex=+∞
所以y=0是曲线的水平渐近线;
斜渐近线:由于-∞一侧有水平渐近线,则斜渐近线只可能出现在+∞一侧。
a=limx→+∞yx=limx→+∞1x+ln1+exx=limx→+∞1x2+limx→+∞ln1+exx
=0+limx→+∞ex1+ex=1
b=limx→+∞y-x=limx→+∞[1x+ln1+ex-x]
=limx→+∞1x+ln1+ex-lnex
=limx→+∞1x+ln1+1ex=0
则曲线有斜渐近线y=x,故该曲线有三条渐近线。
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
如图,连续函数y=f(x)在区间-3,-2,[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间-2,0,[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设
Fx=0xf(t)dt,则下列结论正确的是
(A)F3=-34F(-2)
(B)F3=54F(2)
(C)F-3=34F(2)
(D)F-3=-54F(-2)
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=f(x)
x
y
【答案】C。
【解析】
【方法一】
四个选项中出现的F(x)在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定
F3=03f(t)dt=02f(t)dt+23f(t)dt=π2-π8=38π
F2=02f(t)dt=π2
F-2=0-2f(t)dt--20ftdt=--π2=π2
F-3=0-3f(t)dt=--30ftdt=-π8-π2=38π
则F-3=34F(2)
【方法二】
由定积分几何意义知F2>F3>0,排除(B)
又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数,则Fx=0xf(t)dt为偶函数,从而
F-3=F3>0,F-2=F2>0
显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质,定积分的应用
设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是
(A)若limx→0f(x)x存在,则f0=0
(B)若limx→0fx+f(-x)x存在,则f0=0
(C) 若limx→0f(x)x存在,则f'0存在
(D) 若limx→0fx-f(-x)x存在,则f'0存在
【答案】D。
【解析】
(A):若limx→0f(x)x存在,因为limx→0x=0,则limx→0f(x)=0,又已知函数f(x)在x=0处连续,所以limx→0f(x)=f(0),故f0=0,(A)正确;
(B):若limx→0fx+f(-x)x存在,则limx→0[fx+f(-x)]=f0+f0=0,则f0=0,故(B)正确。
(C) limx→0f(x)x存在,知f0=0,则limx→0f(x)x=limx→0fx-f(0)x=f'(0)
则f'(0)存在,故(C)正确
(D) limx→0fx-f(-x)x=limx→0[fx-f(0)x-f-x-f(0)x]存在,
不能说明limx→0fx-f(0)x存在
例如fx=|x|在x=0处连续,
limx→0fx-f(-x)x存在,但是f'(0)不存在,故命题(D)不正确。
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
设函数f(x)在(0,+∞)内具有二阶导数,且f''x>0,令un=f(n)(n=1,2,⋯),则下列结论正确的是
(A)若u1>u2,则{un}必收敛(B)若u1>u2,则{un}必发散
(C)若u1<u2,则{un}必收敛(D)若u1<u2,则{un