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加权残值法
加权残值法(Method Weighted Residual)是一种应用广泛的求解微分方程的方法。该方法先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差。在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程。由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵。选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。
加权残值法为定解问题的近似求解方法。其优点有原理统一,简便,工作量少,计算精度较高。
加权残值法的发展:加权残值法的基本思想在19世纪初就已提出,20世纪20年代,由毕卡(Picone)用来求解微分方程,克兰德(Crandall)将这一方法统一,并定义为加权残值法。国内的情况是20世纪60年代期间,最早由钱令希教授介绍了多种加权残值方法并用于分析薄板力学问题。徐次达教授自60年代开始利用加权残值法求解固体力学问题。自1982年召开“全国加权残数法学术会议”后,我国加权余量法在结构分析领域内的应用已从静力发展到动力、稳定、材料非线性和几何非线性等各方面。
设问题的控制微分方程为:
在V域内
在S边界上

式中:
L、B分别为微分方程和边界条件中的微分算子;
f、g 为与未知函数u无关的已知函数域值;
u为问题待求的未知函数。
加权残值法分类
当利用加权残值法求近似解时,首先在求解域上建立一个试函数,一般具有如下形式:
式中: 待定系数,也可称为广义坐标;
取自完备函数集的线性无关的基函数。
由于一般只是待求函数u的近似解,若记:
在V域内
在S边界上
显然反映了试函数与真实解之间的偏差,它们分别称做内部残值和边界残值(Residuals) 。
若在域V内引入内部权函数,在边界S上引入边界权函数
则可建立n个消除余量的条件,一般可表示为:
不同的权函数和反映了不同的消除余量的准则。从上式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定系数,即可得所需求解边值问题的近似解。
由于试函数的不同,余量和可有如下三种情况,
依此加权余量法可分为:

试函数满足边界条件,也即

此时消除余量的条件成为:

试函数满足控制方程,也即

此时消除余量的条件为:

试函数不满足控制方程和边界条件,此时用下式来消除余量。
三种方法的对比
在内部法中,对于一般比较规则的边界,选取满足边界条件的试函数是比较容易的。并且,由于边界条件已经满足,所以计算工作量较少。但是对于复杂的边界,这一方法就很不方便。
在边界法中,由于基本控制方程已经满足,近似计算仅在边界上进行,因而计算工作量少,精度较高,不足的是,要事先求得不同问题控制方程的泛定解,比较困难。
混合法的优点在于,对试函数要求不严,复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适应,缺点是计算工作量较大。
对于复杂控制方程,简单边界问题,宜采用内部法;对简单控制方程,复杂边界,适合用边界法;对控制方程和边界条件都较复杂的问题,采用混合法较好。这三种方法中,内部法一般应用较多
无论采用何种方法,在建立试函数时均应注意以下几点:
(1)试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具有对称性,应充分利用它。
基本方法概述
以内部法为例,介绍按权函数分类时加权余量的五种基本方法。对内部法来说,消除余量的统一格式是: