1^k+2^k+……+n^k.doc

这个通项公式是一个非常特别的
公式为
1^k+2^k+...+n^k=((n+1+p)^(k+1)-p^(k+1))/(k+1)
我们先要求一个数字p,p满足以下规则
(1+p)^(k+1)-p^(k+1)=0这个里面首先要展开,展开后对于p,p^2 ,p^3等,我们要当成一个整体对待,比如
k=1的时候
(1+p)^2-p^2=0
1+2p=0 p=-1/2
k=2的时候
(1+p)^3-p^3=0
1+3p+3p^2=0
其中p=-1/2,代入
p^2=1/6
也就是说,p p^2 p^3这些数字之间相对独立
我们来看看k=1的时候我们计算的通项
1+2+..+n=((n+1+p)^2-p^2)/2=((n+1)^2+2(n+1)p)/2
p=-1/2代入
=((n+1)^2-(n+1))/2=n(n+1)/2
我们来看k=2的时候
p=-1/2 p^2=1/6前面已经计算了,不再重复
1^2+2^2+....+n^2=((n+1+p)^3-n^3)/3
=((n+1)^3+3(n+1)^2*p+3(n+1)p^2)3
代入p,p^2
=((n+1)^3-3(n+1)^2/2+3*(n+1)/6)/3
=(n+1)((2(n+1)^2-3(n+1)+1)/6
=(n+1)((2n^2+4n+2-3n-3+1)/6
=(n+1)(2n^2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6
平方数列和:
1^2+2^2+3^2+...+n^2=(1*0+1)+(2*1+2)+(3*2+3)+...+(n*(n-1)+n)
=1*0+2*1+3*2+...+n*(n-1)+1+2+3+...+n
=(n+1)n*(n-1)/3+n*(n+1)/2
=n*(n+1)*(2n+1)/6
立方数列和:
因为:m*(m-1)*(m-2)=m^3-3m^2+2m
所以:m^3=m*(m-1)*(m-2)+3m^2-2m
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1*0*(-1)+3*1^2-2*1) + (2*1*0+3*2^2-2*2)+...+(n*(n-1)*(n-2)+3n^2-2n)
=1*0*(-1)+2*1*0+...+n*(n-1)*(n-2)+3*1^2+3*2^2+...+3n^2-2*1+2*2+...+2n
=(n+1)*n*(n-1)*(n-2)/4+3*n*(n+1)*(2n+1)/6-2*n*(n+1)/2
=(n+1)*n*(n-1)*(n-2)/4+n*(n+1)(*(2n-1)/2
=n*(n+1)[(n-1)*(n-2)+2(2n-1)]/4
=n*(n+1)*(n^2+n)/4
=n^2*(n+1)^2/4
=[n*(n+1)/2]^2
不知道你对排列组合是否懂.
设C[m,n]=m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n! (其中m>n)
如: C[6,2]=6*5/(2*1)=15 (6个中选两个的组合数)
有公式:C[m,n]=C[m-1,n]+C[m-1,n-1]
可这样理解:
在m个东西中要选n个的组合数:C[m,n]
在m个东西中要取n个,分两步取,假设A. 当取n个东西时,A有取到和不取两种情况.
当未取A时组