流体8（微分方程）.pdf

第六节流体流动的微分方程
一. 欧拉方法和拉格朗日方法
1. 欧拉方法(Euler’s Viewpoint)——着眼点是空间点
欧拉法通过两方面来描述整个流场情况:①在
空间固定点上流体的各种物理量(如u,T)随时间
的变化;②在相邻的空间点上这些物理量的变化。
空间点:指固结在参考坐标系上的点,它不随
时间变更自己的位置。
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2. 拉格朗日方法(Viewpoint of Lagrange)
——着眼于流体质点或微团的运动
通过考查空间各个流体质点的位置、速度和
压力随时间的变化,了解整个流体运动规律。即
此法描述的是同一质点在不同时刻的状态,是某
质点的运动轨迹。
注:两种方法的区别(课本第54页)
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二. 物理量的时间导数
以温度 t 为例
¶t
1. 偏导数——表示空间某固定点处温度对时间
¶θ
的导数。
dt
2. 全导数——表示测量温度时,测量点以任意
dθ dx dy dz
速度、、运动
dθ dθ dθ
所测得的温度对时间的变化率。
dt ¶t ¶t dx ¶t dy ¶t dz
= + + +
dθ¶θ¶x dθ¶y dθ¶z dθ
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Dt
3. 随体导数——表示当测量点随流体一起运动
Dθ
dx dy
且速度 u = 、u = 、
x d y dθ
dz θ
u = 时,测得的温度随时
z dθ
间和空间的变化率。
也称为质点导数或真实导数。
Dt ¶t ¶t ¶t ¶t
= +u +u +u
Dθ¶θ x ¶x y ¶y z ¶z
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补充
r æ u u u ö
梯度: ¶ x ¶ x ¶ x
Ñux = ç , , ÷
è ¶x ¶y ¶z ø
r ¶u ¶u ¶u
散度:Ñ ×u = x + y + z
x ¶x ¶y ¶z
2 2 2
Laplace算子: r r ¶ u ¶ u ¶ u
Ñ2u = Ñ(Ñu ) = + +
¶x2 ¶y 2 ¶z 2
思考题:从不同角度考察江河中鱼群的浓度变化规律
来说明浓度的三种时间导数
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(Continuity Equation)
(微分质量衡算方程)

衡算:Output-Input+Accumination=0
x方向:I x = ρu x