第七章定积分.pptx

第一节
一、定积分问题举例
二、定积分的定义
三、 Darboux和
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定积分的概念和可积条件
第七章
四、可积的充要条件
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一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成,
求其面积 A .
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矩形面积
梯形面积
Kepler三大定律
→面积
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解决步骤:
1) 分割:大化小.
在区间[a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底,
为高的小矩形,
并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
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3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
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5) 以下列抛物线为例.
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解:
将[0,1] n 等分, 分点为
取
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 分割:大化小
得
在每个小段上物体经
2) 常代变.
得
已知速度
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n 个小段
过的路程为
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3) 近似和.
4) 取极限.
上述两个问题的共性:
解决问题的方法步骤相同:
“分割,大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
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二、定积分定义( P275 )
任一种分法
任取
总趋于确定的极限 I ,
则称此极限 I 为函数
在区间
上的定积分,
即
此时称 f ( x ) 在[ a , b ] 上可积.
记作
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积分上限
积分下限
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
定积分仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分
变量用什么字母表示无关,
即
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定积分的几何意义:
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
各部分面积的代数和
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