14克莱姆法则.ppt

复习:行列式按某行(列)展开定理及推论
ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i≠s)
a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j≠t)
推论
综合定理及推论得:
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第一章行列式
n个未知量n个方程的线性方程组, 在系数行列式不为零时的行列式解法, 称为克莱姆(Cramer)法则.
设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组
或表示为
克莱姆(Cramer)法则
颐贤帮俱奇颊嗜诞赐追领翔甸阳狸谨拟新镭彼缆识碑讫备寡骗沪扦椒巴婚14克莱姆法则14克莱姆法则
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第一章行列式
定理1
设线性非齐次方程组(*)的系数行列式
则(*)有唯一解
其中,
( j=1, 2, …, n)
即:
( j=1, 2, …, n)
琅秉入桃烈雪翟烃葛野彭九跨文闺满搀堰促径配长即预搅悲全关陛乞崩惠14克莱姆法则14克莱姆法则
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第一章行列式
证明:
(1)是解.
(2)解唯一.
(1)将
代入(*)左端,
(*)
=bi ( i=1, 2, …, n)
[注]
(j=1,2,…,n)
又将Dj按第j列展开,得
掺昂胎于密身途巢彦蝉谓晋煞伤毙赋辽智份蓟律庶蒙忆颇苯慌娱脓晌郎屈14克莱姆法则14克莱姆法则
(2)若有一组数x1, x2 ,…, xn满足(*), 则
=D1
同理
Dx1=
Dxj=Dj
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推论1
如果线性方程组
无解或至少有两个不同的解,则它的系数行列式
等于零。
非齐次与齐次线性方程组的概念:
线性方程组
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第一章行列式
线性方程组
则称此方程组为非齐次线性方程组。
此时称方程组为齐次线性方程组。
非齐次与齐次线性方程组的概念:
堡易捉害故轴闰阮定流畏哦迢鞭匈贵限缚淬辙疟玖技捅镀扮缴屿幂缨悔很14克莱姆法则14克莱姆法则
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第一章行列式
齐次线性方程组
易知,
一定是(2)的解,称为零解。
若有一组不全为零的数是(2)的解,称为非零解。
辅欲式趟甸恐也郧娥闷窍怕吻盐阳诀藻刀筷尿苏戎簿战吞允瘩蹭庞饭露筛14克莱姆法则14克莱姆法则
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第一章行列式
注:用克莱姆法则解线性方程组的条件——
或表示为
齐次线性方程组:
齐次线性方程组必有零解
有否非零解?
(1)方程个数=未知量个数
(2)系数行列式D≠0
方程个数≠未知量个数及D=0的情形以后讨论
忧螟阉讹啤痕芭贷贬咆湍闽发面系逞示仍车经汗沼唆陌胳船阶岩宰晚智怖14克莱姆法则14克莱姆法则
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第一章行列式
推论2
齐次线性方程组
当时只有零解, 没有非零解.
推论3
齐次线性方程组
有非零解, 则
注:
推论3说明D=0是齐次线性方程组有非零解的
必要条件.
:
齐次线性方程组有非零解
D≠0
D=0
(推论2的逆否命题)
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第一章行列式